Построение эпюр крутящих моментов

Пример

Для стержня, находящегося в состоянии статического равновесия и нагруженного парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня, определить уравновешивающий момент М_Σ и построить эпюру крутящих моментов.

Решение.

1. На рис. 2а пары сил заданы круговой стрелкой. Направление уравновешивающего момента М_Σ неизвестно и должно быть определено из условия равновесия стержня. Так как форма и размеры поперечного сечения стержня не влияют на вид эпюр внутренних силовых факторов, то на расчетной схеме прямой стержень можно изобразить прямой линией, проходящей через центры тяжести сечений. В этом случае изображение момента пары сил круговой стрелкой может вызвать трудности в определении направления момента. На рис. 2б стержень изображен прямой линией, а пары сил линиями, перпендикулярными к оси стержня и изображающими плоскости действия пар. Кружки обозначают силы, составляющие пару. Кружки с точкой соответствуют силе, направленной в сторону смотрящего на рисунок (на нас), кружок с крестиком – в другую сторону (от нас).

Определим уравновешивающий момент М_Σ. Выберем систему координат с началом в т. А, направив ось z слева направо. Предположим, что момент М_Σ действует против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z (рис. 2б). Для равновесия плоской системы пар (или пар, лежащих в параллельных плоскостях) необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю. Используя правило знаков, введенное в теоретической механике, получаем:

ΣМ_Z = - М₁ + М₂ + М_Σ – М₃ = -5 + 8 + М_Σ – 6 = 0; М_Σ = 3 кН·м.

Так как значение М_Σ получено со знаком плюс, направление уравновешивающего момента выбрано правильно.

2. Проводя вертикальные линии через точки приложения сосредоточенных моментов, разбиваем стержень на участки.

3. Определим внутренние силовые факторы на каждом участке. Рассмотрим участок АВ. Рассечем стержень поперечным сечением в пределах участка АВ на две части и правую часть отбросим (рис. 2в). Пара сил с моментом М₁ = 5 кН·м, действующая на рассматриваемую часть стержня, может быть уравновешена только парой, лежащей в параллельной плоскости. Следовательно, в поперечном сечении может возникнуть только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_К. Выбирая произвольно направление внутреннего крутящего момента М_К (в нашем примере против хода часовой стрелки, если смотреть на стержень со стороны положительного направления оси z), из условия равновесия плоской системы пар получаем:

ΣМ_Z = - М₁ + М_К = -5 + М_К = 0; М_К = 5 кН·м.

Так как момент М_К получен со знаком «плюс», то его направление выбрано верно.

B

А

С

D

z

y

0,5 м

0,7 м

0,8 м

а)

M1=5 кН·м

M2=8 кН·м

M3=6 кН·м

MΣ

M1=5 кН·м

M2=8 кН·м

MΣ=3 кН·м

M3=6 кН·м

б)

z

z

M1=5 кН·м

MК

в)

z

MК

z

M1=5 кН·м

M2=8 кН·м

г)

д)

MК, кН·м

 

 

Рис. 2

При построении эпюры крутящих моментов принимают следующее правило знаков:

Внутренний крутящий момент М_К считают положительным, если, смотря на сечение, видят этот момент действующим против хода часовой стрелки.

В нашем случае внутренний крутящий момент на участке АВ действует против хода часовой стрелки (если смотреть на сечение), от абсциссы z не зависит, и, следовательно, эпюра крутящих моментов на участке АВ представляет собой прямую, параллельную оси отсчета в положительной области.

Проводя сечение в пределах участка ВС и записывая уравнение статики (рис. 2г), получаем:

ΣМ_Z = - М₁ + М₂ + М_К = -5 + 8 + М_К = 0; М_К = - 3 кН·м.

Знак «минус» означает, что направление внутреннего крутящего момента выбрано неверно и его следует изменить на обратное – по ходу часовой стрелки (рис. 2г). Эпюра крутящих моментов представляет собой прямую, параллельную оси отсчета, в отрицательной области значений. Обратим внимание, что знак внутреннего крутящего момента при построении эпюры определяем не по результатам решения уравнения статики, а пользуясь введенным правилом знаков. Заметим также, что в сечении, проходящем через точку В, где приложена пара с моментом М₂, на эпюре крутящих моментов имеет место скачок на величину этого момента. Пользуясь этим правилом, достраиваем эпюру крутящих моментов на участке СД (рис. 2д).

Установленные в этом примере закономерности справедливы и в общем случае:

1. В поперечных сечениях прямого стержня, нагруженного парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны оси стержня, возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент, т.е. имеет место кручение.

2. В сечениях, где приложены сосредоточенные пары, на эпюре крутящих моментов имеет место скачок на величину моментов этих пар.

3. Внутренний крутящий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме моментов относительно продольной оси от всех нагрузок, действующих на рассматриваемую часть стержня. Момент берут со знаком «плюс», если, смотря на сечение, соответствующий ему внутренний момент действует против хода часовой стрелки, и со знаком «минус» - если по ходу часовой стрелки.