Основные свойства неопределенного интеграла

1)

2)

3)

4) , где число

Таблица простейших интегралов

1)	8)
2)	9)
3)	10)
4)	11)
5)	12)
6)	13)
7)

 

Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям

1. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов и основных свойств.

Пример 1. Найти интеграл:

а)

Решение: Воспользуемся 3 и 4 свойствами неопределенных интегралов и формулами 1 и 2 из таблицы интегралов:

б)

Решение: Воспользуемся 3 и 4 свойствами неопределенных интегралов и формулами 4 и 7 из таблицы интегралов:

в)

Решение: Почленно выполнив деление и применив 3 и 4 свойства неопределенных интегралов и формулы 1, 2 и 3 из таблицы интегралов, получим:

г)

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем ( и правилами действий над степенями, преобразуем подынтегральное выражение, а затем применим 1 свойство неопределенных интегралов и формулу 2 из таблицы:

 

2. Интегрирование методом замены переменной (подстановкой) заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя).

 

Правило интегрирования подстановкой:

1) Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл.

2) Определяют какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают замену.

3) Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной.

4) Производят замену под интегралом.

5) Находят полученный интеграл.

6) Производят обратную замену.

Пример 2. Найти интеграл методом замены переменной:

а)

б)

в)

 

3. Интегрирование по частям. Интегрируя обе части равенства , получим или , откуда получаем:

Это формула интегрирования по частям. При интегрировании по частям данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают и . Множитель стараются выбрать так, чтобы было проще, чем .

 

Пример 3. Проинтегрировать по частям:

а)

 

б)

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Определение: Если первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом и обозначается символом , то есть

где нижний предел, верхний предел определенного интеграла. Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Свойства определенного интеграла

1.)

2.)

3.)

4.)

5.)