Момент силы относительно точки

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ и УПРАВЛЕНИЯ

 

Кафедра «Теоретическая механика и инженерная графика»

Буторин Л.В., Бусыгина Е.Б.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

 

Учебно-практическое пособие для студентов специальностей

260201, 260202, 220203, 260204, 260302, 260401, 260501, 260504

Всех форм обучения

 

 

Москва 2009

УДК - 531

© Буторин Л.В., Бусыгина Е.Б. Теоретическая механика. Учебно-практическое пособие для студентов специальностей 260201, 260202, 260203, 260204, 260302, 260401, 260501, 260504 всех форм обучения. – М.: МГУТУ, 2009

 

Настоящее учебно-практическое пособие содержит изложенные в краткой форме теоретические основы дисциплины, примеры решения задач, контрольные вопросы и тесты, предназначенные для самоконтроля усвоения материала.

 

Авторы: Буторин Л.В., Бусыгина Е.Б.

 

Рецензенты: к.т.н., доц. Колосов А.Л., каф. Ти ПМ, МГГУ,

доц. Щеглов С.В., каф. ИГ и П, МГВМИ.

 

Редактор Свешникова Н.И.

 

 

© Московский государственный университет технологий и управления, 109004, Москва, Земляной вал, 73. 2009 год.

Содержание

Введение……………………………………………………………….4

1. Статика твердого тела…………………………………………….. 5

1.1. Основные понятия статики …………………………………. 5

1.2.. Аксиомы статики ……………………………………………..7

1.3. Связи и их реакции ……………………………………………8

1.4. Момент силы относительно точки ………………………… 9

1.5. Момент силы относительно оси ……………………………..9

1.6. Момент пары сил ……………………………………………10

1.7. Тождественное преобразование систем сил ………………. 11

1.8. Условия равновесия систем сил ……………………………. 12.

1.9. Вопросы для самоконтроля по разделу …………………… 13

1.10. Тесты по разделу …………………………………………….14

2. Кинематика ……………………………………………………… 15

2.1.Основные понятия кинематики ………………………………15

2.2. Кинематика точки …………………………………………….15

2.3. Кинематика твердого тела ……………………………………20

2.4.Сложное движение точки …………………………………… 24

2.5.Вопросы для самоконтроля по разделу …………………… 25

2.6 Тесты по разделу …………………………………………….26

3. Динамика ………………………………………………………… 26

3.1. Основные понятия динамики ……………………………… 27

3.2. Аксиомы динамики ………………………………………… 29

3.3. Дифференциальные уравнения динамики ………………… 29

3.4. Общие теоремы динамики ……………………………………30

3.5. Принцип Даламбера ………………………………………… 32

3.6. Вопросы для самоконтроля по разделу …………………… 32

3.7. Тесты по разделу …………………………………………… 32

4. Решение тренировочных заданий ……………………………… 33

5. Тесты по дисциплине ………………………………………………45

6 Ответы на тесты по разделам …………………………………… 47

Список рекомендуемой литературы ………………………………47

 

 

Введение

 

Современные промышленные производства, в том числе пищевые, являются высокомеханизированными производствами. На технологическое оборудование возлагается решение все более сложных задач, что в свою очередь ведет к усложнению оборудования. Формирование современного инженера немыслимо без знания фундаментальных дисциплин. Одной из таких дисциплин является теоретическая механика.

Теоретическая механика – раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел, механическим взаимодействием – такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

По характеру рассматриваемых задач теоретическую механику принято делить на: статику, кинематику и динамику.

В статике изучаются условия равновесия материальных тел и методы тождественного преобразования системы сил. Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.

В кинематике рассматриваются общие геометрические характеристики движения тел. Действующие на тело силы не рассматриваются. Закон движения задается. Закон движения тела – это зависимость положения тела в пространстве от времени.

В динамике изучают общие законы движения тел под действием сил.

Курс теоретической механики является базой таких учебных дисциплин, как теория механизмов и машин, сопротивление материалов, детали машин и др.

Роль теоретической механики не ограничивается ее техническим приложением. Законы и методы теоретической механики позволяют изучать и объяснять явления, происходящие в окружающем нас мире, способствуют развитию естествознания на базе материалистического мировоззрения.

 

 

Cтатика твердого тела

 

Основные понятия статики

Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется. Следствие размеры и форма тела не изменяются.

Материальная точка – тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.

Свободное тело – тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.

Несвободное (связанное) тело – тело, на перемещение которого наложены ограничения.

Связи – тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).

Механическая система – совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.

Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.

Сила – векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.

Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением (рис.1.1). Единица измерения модуля силы – Ньютон.

 

 

 

Рис.1.1. Рис.1.2.

Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлен вектор силы.

Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.

Распределенные силы (распределенная нагрузка) – силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела (рис.1.2).

Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).Размерность распределенной нагрузки – Н/м³ (Н/м², Н/м).

Внешняя сила – сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.

Внутренняя сила – сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.

Система сил – совокупность сил, действующих на механическую систему.

Плоская система сил – система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

Пространственная система сил – система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Система сходящихся сил – система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис.1.3).

Произвольная система сил – система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.(рис.1.4)

 

 

 

Рис.1.3 Рис.1.4

Эквивалентные системы сил – такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела. Принятое обозначение:

Уравновешенная система сил – система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).

Равнодействующая сила – сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.

Момент силы – величина, характеризующая вращающую способность силы.

Пара сил – система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил. Принятое обозначение – ().Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.

Проекция силы на ось – отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси (рис.1.5).

Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.

Проекция силы на плоскость – вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости (рис.1.6).

Рис.1.5 Рис.1.6

Аксиомы статики

В основе теоретических положений статики лежит ряд аксиом. Аксиома, это закон, сформулированный в результате обобщения результатов наблюдений.

1. Аксиома равновесия.

Две силы, действующие на твердое тело, уравновешиваются только в том случае, если они равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1.7).

 

 

Рис.1.7 Рис.1.8

2. Аксиома присоединения (исключения) уравновешенной системы сил.

Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или исключить из нее уравновешенную систему сил (рис 1.8).

3. Аксиома о параллелограмме сил.

Система двух сил, приложенных в одной точке твердого тела, имеет равнодействующую, приложенную в той же точке. Вектор равнодействующей является диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис.1.9).

 

 

Рис. 1.9 Рис.1.10

4.Аксиома противодействия.

При действии одного твердого тела на другое возникает сила противодействия, равная по модулю, противоположно направленная действующей силе (рис.1.10).

Примечание. Силу, действие которой задано, называют активной силой, силу противодействия называют реакцией.

5.Аксиома связей.

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие соответствующими реакциями.

 

Связи и их реакции

 

Тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта, будем называть связями. Сила, с которой связь действует на рассматриваемый объект, называется реакцией связи. При определении возможных реакций связи следует исходить из того, что реакция это сила, препятствующая перемещению рассматриваемого тела. Реакция направлена в сторону, противоположную той, куда связь не позволяет перемещаться телу.

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся связи.

Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности (рис.1.11).

Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры (рис.1.12)

Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости,перпендикулярной оси вращения. При расчетах реакцию Fr, как правило, представляют в виде двух составляющих по осям X и Y (рис.1.13).

Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня (рис.1.14).

Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости (рис.1.15). Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

 

A

 

 

Рис.1.11 Рис. 1.12 Рис.1.13 Рис.1.14 Рис.1.15

 

Момент силы относительно точки

 

Под действием силы твердое тело наряду с поступательным движением может совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательная способность силы характеризуется моментом силы. Вращательный эффект силы зависит от модуля силы, расстояния от центра до линии действия силы, направления поворота в плоскости вращения.

Абсолютное значение момента равно произведению модуля силы на кратчайшее расстояние h от центра вращения до линии действия силы. Расстояние h называют плечом силы (рис.1.16).

М₀ () = F × h, (1.1)

Момент считают положительным, если сила стремится вращать плечо h против хода часовой стрелки и отрицательным при вращении по ходу часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно точки:

1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль линии действия силы.

2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку приложения силы.

3. Момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки.

где (1.2)

 

 

 

 

Рис.1.16. Рис.1.17.