Решение системы методом Жордана-Гаусса.

Семестровая работа по дисциплине

«Математика»

Тема: Линейная алгебра.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.

Тема: Комплексные числа.

Задача 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах записи комплексного числа; 2) найти все корни уравнения .

 

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.

Тема: Векторная алгебра.

Задача 3. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Задача 4. Найти косинус угла между векторами и .

 

1.	9.	17.	25.
2.	10.	18.	26.
3.	11.	19.	27.
4.	12.	20.	28.
5.	13.	21.	29.
6.	14.	22.	30.
7.	15.	23.	31.
8.	16.	24.	32.

 

Задача 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

Задача 6. Компланарны ли векторы , и .

1.	17.
2.	18.
3.	19.
4.	20.
5.	21.
6.	22.
7.	23.
8.	24.
9.	25.
10.	26.
11.	27.
12.	28.
13.	29.
14.	30.
15.	31.
16.	32.

 

Задача 7. Найти угол между плоскостями.

1.	17.
2.	18.
3.	19.
4.	20.
5.	21.
6.	22.
7.	23.
8.	24.
9.	25.
10.	26.
11.	27.
12.	28.
13.	29.
14.	30.
15.	31.
16.	32.

Задача 8. Написать канонические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями.

 

1.	17.
2.	18.
3.	19.
4.	20.
5.	21.
6.	22.
7.	23.
8.	24.
9.	25.
10.	26.
11.	27.
12.	28.
13.	29.
14.	30.
15.	31.
16.	32.

 

Задача 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

 

1.	17.
2.	18.
3.	19.
4.	20.
5.	21.
6.	22.
7.	23.
8.	24.
9.	25.
10.	26.
11.	27.
12.	28.
13.	29.
14.	30.
15.	31.
16.	32.

 

Тема: Функции одной переменной.

Задача 10. Вычислить пределы функций

Задача 11. Найти производные функций

Задача 12. Найти производную функции в точке х₀.

1.	17.
2.	18.
3.	19.
4.	20.
5.	21.
6.	22.
7.	23.
8.	24.
9.	25.
10.	26.
11.	27.
12.	28.
13.	29.
14.	30.
15.	31.
16.	32.

 

 

Задача 13. Провести полное исследование и построить графики функций.

 

 

 

Литература:

1. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 6-е изд.; стер.-М.:Высш.шк., 2003г. – 479 с: ил. ISBN 5-06-003959-5

2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 5-е изд.; стер.-М.:Высш.шк., 2005г. – 304 с: ил. ISBN 5-06-003575-1

Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов. М., 1973 г., 720с с илл.

3. Элементы линейной алгебры: методические указания / Сост. Л.Н. Феофанова; Волгоград. Гос.тех.ун-т. – Волгоград, 1999 г. - 56с

4. Методические указания к типовой работе по теме «Линейная алгебра» / Сост. Л.А. Исаева., В.Ф. Исаев; Волгоград.гос.тех.ун-т – Волгоград, 1996г. – 20 с

5. Элементы линейной алгебры: стандартные задачи с основными приложениями теории: учебное пособие. / Феофанова Л. Н., Исаева Л. А., Исаев В. Ф. / ВолгГТУ – Волгоград, 2009. – 88 с.

6. Начала аналитической геометрии: учеб. пособие / Симонова И. Э., Тарасова И. А., Симонов Б. В., Ермакова А. А.; ВолгГТУ. - Волгоград: ВолгГТУ, 2010. - 48 с.: 1 электрон. опт. диск (CD.R)

Примеры решения некоторых задач

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.

Решение:

Решение системы методом Крамера.

Найдем главный и вспомогательный определители системы:

 

 

Так как , то система имеет единственное решение:

 

 

Решение системы с помощью обратной матрицы.

 

Заданную систему запишем в матричной форме АХ=В, где

 

Матрица А системы неособенная, так как , значит, существует обратная матрица , где .

Вычислим алгебраические дополнения Aij:

Затем находим обратную матрицу

Искомая матрица

Из условия равенства матриц получим решение данной системы уравнений:

 

Решение системы методом Жордана-Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к диагональному виду:

 

 

 

Ответ:

Задача 2. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

Решение:

1) Запись называется алгебраической формой комплексного числа, где х – вещественная часть, y – мнимая часть.

 

 

- алгебраическая форма.

Запись называется тригонометрической формой комплексного числа, где - называется модулем, а число - аргументом.

Следовательно,

2) найдем все корни уравнения .

Обозначим , тогда

 

Таким образом .

При k=0:

,

При k=1:

,

При k=2:

.

Задача 3. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

Решение:

Найдем координаты векторов и .

Проверим условие коллинеарности векторов.

Так как условие выполняется, то векторы и коллинеарны.

Ответ: коллинеарны.

 

Задача 4. Найти косинус угла между векторами и .

Решение:

Найдем координаты векторов и .

Ответ: -1.

Задача 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение:

Ответ: .

Задача 6. Компланарны ли векторы , и .

Решение:

Вычислим смешанное произведение векторов , и .

Так как смешанное произведение векторов , то векторы , и компланарны.

Ответ: компланарны.

 

Задача 7. Найти угол между плоскостями.

Решение:

Нормальные векторы плоскостей имеют координаты: .

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Ответ: .

 

Задача 8. Написать канонические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями.

Решение:

Нормальные векторы плоскостей имеют координаты: .

Определим направляющий вектор прямой Найдем координаты точки М, принадлежащей прямой. Для этого решим систему уравнений

Положим , тогда система примет вид

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Подставляя найденное x во второе уравнение, найдем y:

Таким образом, точка М имеет координаты (-3, 0, 0).

Запишем канонические уравнения искомой прямой:

или

Ответ: .

Задача 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Решение:

Так как точка принадлежит и прямой, и плоскости, то ее координаты можно найти, решив систему уравнений:

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде и подставим в уравнение плоскости

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты искомой точки:

Ответ:

Задача 10. Найти производную функции в точке х₀:

Решение:

Ответ: 0.

 

Задача 11. Найти производную функции:

Решение:

Ответ: .

Задача 12. Найти производную функции:

Решение:

Учитывая свойства логарифма:

Ответ: .