Прямое и непрямое (косвенное) доказательство

По форме доказательства делятся на прямые и непрямые (косвенные). Прямое доказательство — это доказательство, при котором истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами, т.е. тезис является логическим следствием аргументов. Схема доказательства такова: из данных аргументов (а, Ь, с...) необходимо следуют истинные суждения (k, m, n,...), а из последних следует доказываемый тезис р.

По этому типу строятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т.д. Известный писатель Михаил Булгаков (1891 - 1940) в своем «Театральном романе» обосновывает тезис о том, что заведующий внутренним распорядком Независимого Театра Филипп Филиппович Тулумбасов (у которого вся страна выпрашивала билеты на спектакли) мог одновременно делать больше дел, чем знаменитый Кай Юлий Цезарь. Вот аргументы Булгакова. Филипп Филиппович успевал делать пометки в четырех календарях и пяти блокнотах, лежавших на его письменном столе. Кроме того, «три телефона звенели, не умолкая никогда, и иногда оглашали грохотом кабинет сразу все три. Филиппа Филипповича это нисколько не смущало. Правой рукой он брал трубку правого телефона, клал ее на плечо и прижимал щекою, в левую брал другую трубку и прижимал ее к левому уху, а освободив правую, ею брал одну из протягиваемых ему записок, начиная говорить сразу с тремя -- в левый, в правый телефон, потом с посетителем. Сразу сбрасывал обе трубки на рычаги, и так как освобождались обе руки, то брал две записки. Отклонив одну из них, он снимал трубку с желтого телефона, слушал мгновение, говорил: «Позвоните завтра в три», вешал трубку, посетителю говорил: «Ничего не могу». Но очень часто аргументы для прямого доказательства трудно или даже невозможно отыскать. Тогда приходится отыскивать обходные пути, прибегая к косвенному доказательству.

Косвенное доказательство есть такое доказательство, когда истинность тезиса обосновывается с помощью доказательств ложности антитезиса.

Антитезис бывает двух видов: 1) Когда и антитезис -А (не-а) представляет собой отрицание тезиса а, т.е. является суждением, противоречащим тезису; 2) когда приходится иметь дело в косвенном доказательстве с суждениями а Ь, с, которые образуют строгую дизъюнкцию (или их удается в нее преобразовать) а V b V с, то антитезисом для тезиса а в суждении а V b V с служат суждение b и суждение с. В зависимости от этого различия в структуре антитезиса косвенные доказательства делятся на два вида: «от противного» (апагогическое) и разделительное (методом исключения).

Апагогическое косвенное доказательство (или доказательство «от противного») осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. В основе этого вида косвенного доказательства лежит использование закона исключенною третьего (a v -а). Этот метод часто используют в математике. Пусть а - тезис (или теорема), который надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т.е. истинно не-а (или -а). Из допущения -а выводим следствия, которые противоречат действительности или ранее известным теоремам. Имеем а V -а, при этом а ложно, значит, истинно его отрицание, Т.е. =а, которое по закону двузначной классической логики (=а- а) дает а. Значит, истинно а, что и требовалось доказать.

Разделительные доказательства (методом исключения). Антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы. Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения, кроме одного. Здесь применяется структура отрицающе-утверждающего модуса разделительно-категорического силлогизма. Заключение будет истинным, если в разделительном суждении предусмотрены все возможные случаи (альтернативы), т.е. если оно является полным дизъюнктивным суждением. Блестящие примеры разделительного доказательства содержатся в произведениях Артура Конан Дойля.

Вот Шерлок Холмс демонстрирует разницу между умением наблюдать и умением делать выводы доктору Уотсону, считавшему, что это почти одно и то же (повесть «Знак четырех»): «Нет, это разные вещи, — ответил Шерлок Холмс. Вот, например, наблюдение показало мне, что утром вы были на почте на Уилморстрит, а умение логически мыслить позволило сделать вывод, что вы ходили туда посыпать телеграмму. - Поразительно!

– воскликнул и (Уотсон. - Авт.). — Вы правы. Но, должен признаться,

я не понимаю, как вы догадались. Я зашел на почту случайно и не помню,

чтобы кому-нибудь говорил об этом.

— Проще простого, — улыбнулся Шерлок Холма — Хотя, пожалуй, на этом примере я смог бы показать вам разницу между умением наблюдать и умением строить умозаключения. Наблюдение показало мне, что подошвы ваших ботинок испачканы красноватой глиной. А у самой почты на Уигморсрит как раз ведутся земляные работы. Земля вся разрыта, и войти на почту, не испачкав ног, невозможно. Глина там особого, красного цвета, какой поблизости нигде больше нет. Вот что дало наблюдение. Остальное я вывел логическим путем. — А как вы узнали, что я посылал телеграмму? - Тоже просто. Мне известно, что утром вы не писали низких писем, ведь а все утро сидел напротив вас. А в открытом ящике вашем бюро я заметил толстую пачку почтовых открыток и целый лист марок. Для чего же тогда идти на почту, как не затем, чтобы послать телеграмму? Отбросьте все, что не могло иметь места, и останется один единственный факт, который и есть истина» Другими словами, Холмс при доказательстве следует схеме:

a v bv с; -а v - Ьc

где а — суждение «купить открытки», Ь — «купить марки»; с— «отправить телеграмму».

Но, к сожалению, возможности косвенною доказательства (при всей его простоте и даже изяществе) очень часто оказывается ограниченными даже в том случае, когда перед, нами строгая дизъюнкция, т.е. все ее члены исключают друг друга. Косвенное доказательство нередко служит источником тяжелых судебных ошибок, причем таких, которые уже нельзя исправить. Не случайно Артур Конан Дойль, устами своего любимого героя предупреждал: «Косвенные доказательства обманчивы, — задумчиво проговорил Холмс. – Они могут совершенно ясно указывать в одном направлении, но в то же время уводить в противоположную от истины сторону».

Почему это происходит? Чаще всего потому, что: 1) в качестве антитезиса используется суждение, не являющееся по своему содержанию противоречащим тезису; 2) либо же в дизъюнкции не рассмотрены все варианты, не исчерпаны все возможности.

Вот описание подлинного факта, когда в США был осужден на основании косвенного доказательства и казнен невиновный подросток по имени Кид. Об этом ужасном случае поведал в своих воспоминаниях полковник Эл Дженнингс, отбывавший наказание в каторжной тюрьме Огайо вместе с оказавшимся там по ложному обвинению Билли Портером (впоследствии – знаменитым американским писателем О.Генри). Полковник Дженнингс писал: «Я был знаком с обстоятельствами этого дела. Против Кида имелись тяжелые улики. Раз в воскресенье он отправился с товарищем купаться на реку Сиото. Кид вернулся домой один – товарищ его пропал. Три недели спустя его тело нашли недалеко, в низовьях реки... Родители пропавшего заявили, что это и есть их сын. Кида арестовали. Па суд вызвали свидетелей. Те показали, что видели в день исчезновения юноши на берегу Сиото двух мальчиков и один из них был Кид мальчики ссорились. Вдруг Кид схватил своего товарища за руку и потащил к реке с криком: «Вот погоди, я утоплю тебя за это!» Эту угрозу слышали двое мужчин и одна женщина. Кид был осужден на основании косвенных улик. Однако впоследствии выяснилось, что он был невиновен, а его товарищ жив».

ПОНЯТИЕ ОПРОВЕРЖЕНИЯ

Искусство аргументации наряду с умением доказывать предполагает также умение правильно вести критику и опровергать неверные утверждения, разрушать ранее построенные неправельные доказательства. Опровержение как особый прием доказательства несостоятельности того или ином положения имеет особенно важное значение в спорах, дискуссиях, в полемике.

Опровержение — это логическая операция, с помощью которой устанавливается ложность или необоснованность некоторого суждения.

Как и доказательство, опровержение имеет в своей структуре тезис (положение, которое необходимо опровергнуть), аргументы (высказаны, с помощью которых этот тезис опровергается), демонстрацию (форму логической связи аргументов и тезиса).

В зависимости от целей, которые ставит перед собой выступающий, опровержение может относиться к тезису, аргументам или к демонстрации.

Наиболее эффективным и важным по своему значению является опровержение тезиса, в процессе второго показывается несостоятельность выдвинутого исходного положения. К этому действенному средству полемики довольно часто прибегают в публичных лекциях, выступлениях на митингах и собраниях, его широко используют участники диспутов и дискуссий.

Опровержение тезиса может проводиться тремя способами: опровержение фактами, опровержение путем установлены ложности следствий, вытекающих из тезиса, а такте опровержение с помощью доказательства истинности антитезиса.

Опровержение фактами — наиболее простой способ, который сводится к тому, что приводится достоверный факт, который противоречит предложенному тезису. Примером такого опровержения может служить следующий пример. Как известно, сверление отверстий сопровождается значительным выделением тепла. В XVIII в. сторонники теории теплорода объясняли процесс нагревания сверл и пушечных болванок при их сверлении тем, что стружки имеют меньшую удельную теплоемкость и, как следствие, выделяют излишний теплород. Этот их вывод был опровергнут измерением: оказалось, что и стружки, и сплошной кусок металла одной и той же массы выделяют одинаковое количество теплота, т.е. имеют одну и туже теплоемкость.

Опровержение путем установления ложности следствий, вытекающих из тезиса (опровержение путем «приведения к абсурду»), проводится следующим образом. Предполагая истинность тезиса, из него выводят следствия, вторые затем сопоставляются с реальной действительностью ли с какими-либо истинными высказываниями (выводимый, доказуемыми формулами). Если при этом оказывается, что выведенные следствия не соответствуют действительности ли противоречат друг другу или каким-то истинным положениям, то признается их несостоятельность, что ведет к признанию несостоятельности и выдвинутого тезиса.

Блестяще использовал этот прием в одном из своих выступлений в суде известный адвокат Ф.Н. Плевако. Выступая в защиту старушки, укравшей жестяной чайник стоимостью 50 копеек,. он убедительно опроверг тезис прокурора, считавшей, что, хотя кража незначительна и на преступление старушки толкнула ее бедность, да и сама старушка вызывает только жалость, а не возмущение и негодование, все те она должна быть осуждена, ибо посягнула на самое священное в государстве: – на собственность, на которой зиждется все благоустройство российское, без которого страна погибнет. - В своем выступлении Ф.Н. Плевако сказал: «Много бед и испытаний пришлось претерпеть России за ее более, чем тысячелетнее существование. Печенеги терзали ее, половцы, татары, поляки... Двунадесять языков обрушилось на нее, взяли Москву. Все вытерпела, все преодолела России, только крепла, а росла от испытаний. Но теперь, теперь... старушка украла старый чайник ценою в пятьдесят копеек. Этого Россия уже, конечно, не выдержит, от этого она погибнет безвозвратно». Суд оправдал старушку.

Опровержение с помощью доказательства истинности антитезиса проводится на основании использование закона исключенного третьего. Предположив истинность антитезиса и доказав это предположение, делают вывод о том, что ложным является исходное положение, т.е. тезис, так как указанный закон утверждает истинность лишь одного из двух противоречащих друг другу высказываний. Вот пример такого опровержения.

На математической викторине в одной из школ присутствовало около сотни школьников. Ведущий, предложил задумать всем участникам какое-либо двузначное число, высказал утверждение, что среди задуманных чисел не будет двух одинаковых. Второй ведущий не согласился с этим утверждением, предложив сравнить записанные на листочках, переданных всем участникам викторины, числа. Однако один из школьников сказал, что может опровергнуть утверждение первого ведущего, не прибегая к фактической проверке. «Так как нас здесь более 90 человек, – заявил он, – то и чисел, написанных на этих листочках, тоже более 90. Но двузначных чисел не может быть больше 90, это легко установить. Следовательно, среди чисел, которые написали участники викторины, обязательно встретятся одинаковые. По меньшей мере их будет два».

Опровержение используется с целью показать несостоятельность или недостаточность доводов, которые применяются для обоснования истинности тезиса. При этом, возможны такие способы, как доказательство ложности аргументов или их неубедительности. В случае установления ложности аргументов (хотя бы одного из тех, которыми пользуются для доказательства или обоснования тезиса) тезис безоговорочно признается несостоятельным и нуждается в ином, более убедительном подтверждении.

Предположим, что в качестве аргументов для подтверждения тезиса «Все квадраты имеют равные диагонали» были взяты следующие суждения: «Все квадраты — ромбы» и «Все ромбы имеют равные диагонали». Тогда для опровержения аргументов достаточно доказать, что суждение С «Все ромбы имеют равные диагонали» является ложным. А так как это суждение используется в качестве одной из посылок, лежащих в основании доказательства ложности тезиса, то последний должен быть признан необоснованным.

В случае установления недостаточности аргументов или и сомнительности делается вывод о необоснованности тезиса. Здесь, как и в предыдущем случае, необходимо найти дополнительные аргументы либо заменить их на такие, которые уже не будут вызывать никаких сомнений. Легко показать, что используемые для доказательства истинности общего суждения отдельные факты или частные случаи (частные суждения) не могут служить для этого достаточным основанием. Здесь можно вспомнить не только о правилах посылок категорического силлогизма, и об ошибках неполной индукции («поспешное обобщение»), и о законе достаточного основания.

Пусть, например, для обоснования тезиса «Петров виноват» был использован аргумент: «Петров был на месте происшествия». Ясно видно, что этот аргумент недостаточен для признания тезиса истинным. Петров мог быть на месте происшествия и чуть раньше, и чуть позже того времени, когда это происшествие произошло. Он мог оказаться там по любой причине, совершенно не связанной с произошедшим. Здесь допускается типичная ошибка: «После этого, значит, по причин этого». Опровержение демонстрации — последний из указанных нами способов опровержения – состоит в том, что показывается неправильность используемого для обоснования некоторого тезиса доказательства, ошибочность, нарушение его структуры, отсутствие необходимой связи между аргументами и тезисом. В качестве последнего примера приведем «доказательство», где ошибка далеко не очевидна.

Пусть а==Ь+с, тогда верно, что а(а-Ь) =(a-t))(b+c) или:

a2-ab=ab-b2+ac-bc.

После переноса ас в левую часть равенства получим, что a2-9b-ac=ab-b2-bc.

Вынося за скобки общий множитель в каждой части равенства, имеем: a(a-b-c)= b(a-b-c).

Разделив теперь обе части полученного выражения на (а-Ь-с), получим, что а=Ь. Таким образом, из этого «оказательства» вытекает, что а=Ь+с и одновременно а==Ь, что в общем случае, конечно же, неверно.

В чем же причина противоречим, к которому мы пришли? На каком этапе доказательства допущена ошибка? Проанализировав все шаги, сделанные в ходе этого рассуждения, можно увидеть, что ошибка допущена на этапе деления, так как выражение (а-Ь-с) при условии, что а=Ь+с, равно нулю, т. е. не может быть делителем, потому что деление на ноль не допускается.

При опровержении следует учитывать, что критика аргументов или демонстрации не дает оснований считать тезис ложным. Оба рассмотренных способа опровержения разрушают доказательство, показывая несостоятельность средств, использованных для обоснования тезиса, что ставит под сомнение содержание тезиса, приводит к необходимости подобрать другие убедительные аргументы или новую форму доказательства.

Приступая к критике позиции оппонента, желательно четко определить для себя предмет критики, а исходя из этого, выбрать тот или иной способ опровержения. В ходе подготовки к опровержению следует всесторонне проанализировать рассуждение оппонента выявить в них слабости: наличие противоречий или неоднозначных понятий, терминов, суждений использование сомнительных примеров, фактов, которые требуют подтверждения, слухов и т.п.: наличие различного рода логических ошибок и несообразностей; и т.д. Все указанные способы опровержения могут применяться не только по от дельности друг от друга, но и в том или ином сочетании. Опровержение тезиса может сопровождаться показом несостоятельности аргументов или критикой демонстрации; наряду с ложностью аргументов может быть показана и ложность следствий, вытекающих из тезиса; и т. д.