Дәріс сабағы. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар

Функцияның туындысы. Анықтама. Функция өсімшесі -тің аргумент өсімшесі -ке катынасының нөлге ұмтылғандағы шегі бар болса, онда оны функциясының х₀ нүктедегі туындысы деп атайды, яғни .

Функцияның қандайда бір аралықтың кез келген нүктесінде туындысы болса, онда оны осы аралықта дифференциалданады дейді. функциясының нүктедегі туындысы мынандай символдармен белгіленеді: .

Егер аргумент х-ке әртүрлі мәндер берсек, онда -те әртүрлі мәндер қабылдайды, сондықтан функция туындысын х-тің функциясы деп карастыруға болады.

Туындының геометриялық мағынасы: функциясының х₀ нүктедегі туындысы функцияның графигіне нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең, яғни , , . функциясының графигіне оның нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуі: , ал оған осы нүктеде перпендикуляр болатын түзу (нормаль) теңдеуі: болады.

Туындының физикалык мағынасы: функциясының х₀ нүктедегі туындысы осы нүктедегі функцияның х аргументіне қатысты өзгеру жылдамдығын анықтайды.

Теорема (функция туындысының бар болуының кажетті шарты). Егер функциясы х=х₀ нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол осы нүктеде үзіліссіз.

Мысалы, функциясы нүктеде үзіліссіз болғанмен де оның осы нүктеде туындысы жоқ. Өйткені, , . Яғни нүктеде оң және сол жақты шектер тең емес.

Туындының анықтамасын пайдаланып элементар функциялардың туындылар кестесі жасалған:

1. , 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Теорема. Егер , функциялары сегментінде дифференциалданса және С -тұрақты шама болса, онда төмендегідей негізгі дифференциалдау ережелері орындалады:

1.Тұрақты шаманың туындысы 0-ге тең: 2.

3. 4.

5. 6.

Күрделі функцияның туындысы. Анықтама. Егер , ал , яғни -тің мәндерінің жиыны функциясының анықталу облысының ішкі жиыны болса, онда айнымалы х бойынша күрделі функция болып саналады. Мұндағы аралық аргумент деп аталады. және функцияларының суперпозициясы немесе функцияның функциясы деп аталады.

-күрделі функцияның туындысы сол функцияның аралық аргумент бойынша алынған туындысын аралық аргументтің туындысына көбейткенге тең болады, яғни

немесе

Егер күрделі функция екі және аралық аргументтері бойынша жасалса: , , , яғни , онда оның туындысы: .

Мысал. , ?

Шешуі:

Айқындалмаған функцияның туындысы. теңдеулерімен берілген, яғни х аргументі мен у функциясының арасындағы байланыс у -ке қатысты шешіле бермейтін түрде берілген функцияны айқындалмаған функция деп атайды. Оның туындысын табу үшін у -ті х -тің функциясы деп қарастырып, теңдеуден х бойынша туынды аламыз да, шыққан теңдеуден -ты табамыз.

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы. х аргументі мен у функциясының арасындағы байланыс -параметріне қатысты теңдеулермен берілсе: , , онда функция параметрлік түрде берілген функция деп аталады. Бұл теңдеуді х0у жазықтығында қозғалып бара жатқан нүкте координаталарының уақытына тәуелділігі деп қарастыруға болады, яғни функциясының графигі қозғалмалы нүктенің траекториясын көрсетеді.

, функцияларының параметрі бойынша туындылары бар және болсын. Сонда, бірінші туындысы: , ал екінші туындысы: формулаларымен табылады.

Мысал. , . , =?

Шешуі. , . .

Кері функцияның туындысы. Егер сегментінде үзіліссіз, бірсарынды және нөлге тең емес туындысы бар функция болса, онда оның сегментінде керіфункциясы үзіліссіз, бірсарынды және туындысы: немесе бар болады. Сонымен, кері функцияның туындысы тура функция туындысының кері шамасына тең болады.

Мысал. , , =? Шешуі: , ,

, .

Логарифмдік дифференциалдау әдісі. түріндегі функцияны дәрежелі-көрсеткіштік функция дейміз. Мысалы, , , және т.б. Мұндай түрдегі функцияның туындысын табу үшін логарифмдік дифференциалдау әдісін қолданамыз. Ол үшін және функцияларының х нүктесінде туындысы бар және функциясы х-тің белгілі бір маңайында оң деп ұйғарамыз. Сосын, теңдіктің екі жағын да логарифмдеп, логарифм қасиеттерін пайдалансақ: болады. Бұл теңдіктен күрделі функцияның туындысын табу ережесін колданып туынды табамыз: . Осы теңдеуден у'- тітапсақ, мынадай теңдікті аламыз:

. Сонымен,

Немесе, негізгі логарифмдік теңбе-теңдікті: пайдаланып, дәрежелі-көрсеткіштік функцияны мынадай күрделі көрсеткіштік фукцияға келтіреміз де: , осы күрделі функциядан туынды табамыз.

1-мысал. функциясының туындысын табу керек.

Шешуі: 1-тәсіл: , .

Яғни,

2-тәсіл.

Сонымен қатар, логарифмдік дифференциалдау әдісі функцияның туындысын табуды жеңілдету үшін де қолданылады.

Функцияның дифференциалы. функциясының х нүктесінде туындысы бар болсын, яғни . Бұдан, , мұндағы жоғарғы ретті шексіз аз функция, сондықтан функция өсімшесінің басты бөлігі деп аталады.

Анықтама. функциясының х нүктесіндегі дифференциалы деп функция өсімшесінің басты бөлігін айтады және оны немесе деп белгілейді: , . Ендеше, , бұдан .

Теорема. функциясының х нүктесінде дифференциалы болу үшін оның туындысының бар болуы қажетті және жеткілікті.

Дифференциалдың геометриялық мағынасы: функциясының х нүктесінде дифференциалы функция графигіне сол нүктеде жүргізілген жанама ординатасының өсімшесіне тең болады. , сондықтан немесе . Бұл теңдік функцияның жуық мәндерін табу үшін қолданылады.

Дифференциал табу ережелері туынды табу ережелерінен шығады:

1. , 2. , егер х-тәуелсіз айнымалы болса;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ,

7. . Бұл ереже дифференциал түрінің инварианттылығы деп аталады.

Мысал. функциясының дифференциалын табыңыз.

Шешуі: