Задачи на минимизацию функции, заданной в аналитической форме

Рассмотрим пример решения задачи минимизации многомерной функции, заданной в аналитической форме, с использованием необходимых и достаточных условий минимума.

Пусть задана функция вида

(1)

Задача 1. Найти значение и координаты минимума функции (1)

(2)

Решение.

Найдем координаты стационарной точки. Для этого возьмем первые производные от функции по поисковым переменным и приравняем их нулю:

(3)

Решим полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными (3) и получим координаты миимизируемой функции:

Значение функции в этой точке равно:

 

Теперь надо проверить, является ли данная точка координатой минимума. Для этого надо проверить знакоопределенность определителя матрицы вторых производных минимизируемой функции:

 

Следовательно, это точка минимума.

 

На рис. 1 показаны линии равного уровня минимизируемой функции (1) и координаты точки минимума. Ось абсцисс соответствует переменной , ось ординат - переменной .

 

Рис.1.Иллюстрация задачи 1

 

Задача 2. Найти значение и координаты минимума функции (1) при наличии ограничений (4), (5).

(4)

(5)

Решение.

Построим функцию Лагранжа

 

где множители Лагранжа.

Согласно теореме Куна-Таккера в стационарной точке должны выполняться условия равенства нулю первых производных от функции Лагранжа,

то есть

Решив эту систему нелинейных уравнений, найдем координаты стационарной точки и значения множителей Лагранжа:

 

Проверим, является ли данная точка координатой точки минимума. Для этого проверим знакоопределенность определителя матрицы вторых производных функции Лагранжа

=

 

Следовательно, найденная точкаявляется координатой точки минимума функции (1), при ограничениях (4), (5).

Проверим условие дополняющейнежесткости ограничения неравенства. Поскольку , то .

То есть ограничение неравенство является активным.

 

На рис.2 приведены иллюстрация задачи минимизации функции (1) при ограничениях (4), (5).

Рис. 2. Иллюстрация задачи 2

Вопросы для самопроверки к лекции 2

1. Сформулируйте постановку задачи оптимизации. Что включает в себя задача оптимизации?

2. Запишите математическую формулировку задачи оптимизации. Чем задача условной оптимизации отличается от задачи безусловной оптимизации?

3. Запишите, как связана задача максимизации функции с задачей минимизации

4. Дайте определение унимодального критерия

5. Дайте определение мультимодального критерия

6. Как математически записать условие локального минимума

7. Как математически записать условие глобального минимума

8. Как математически записать условие выпуклости множества допустимых значений вектора варьируемых параметров

9. Приведите примеры выпуклых множеств. Нарисуйте примеры выпуклых множеств для пространства двух переменных

10. Как математически записать условие выпуклости критерия оптимальности

11. Как геометрически изобразить условие выпуклости критерия оптимальности

12. Что такое стационарные точки функции

13. Приведите необходимые условия существования минимума в безусловных задачах одномерной оптимизации

14. Приведите необходимые и достаточные условия существования минимума в безусловных задачах одномерной оптимизации

15. Что такое линии равного уровня функции многих переменных. Объясните графически, как они получаются на примере функции двух переменных

16. Приведите необходимые условия существования минимума в безусловных задачах многомерной оптимизации

17. Приведите необходимые и достаточные условия существования минимума в безусловных задачах многомерной оптимизации

18. Запишите функцию Лагранжа для задачи условной оптимизации с ограничениями типа равенств

19. Запишите условия существования минимума в задачах оптимизации с ограничениями типа равенств. Запишите условие стационарности и условие допустимости решения

20. Дайте геометрическую интерпретацию задачи условной оптимизации с ограничениями типа равенств (при числе поисковых переменных n=2, числе ограничений m=1)

21. Запишите функцию Лагранжа для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств

22. Что такое активные и неактивные ограничения в задачах условной оптимизации с ограничениями типа неравенств

23. Сформулируйте теорему Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств.

24. Дайте геометрическую интерпретацию теореме Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа равенств (при числе поисковых переменных равном 2 и числе ограничений-неравенств равном 2)

25. Приведите следствия из теоремы Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями-неравенствами: условие стационарности, условие допустимости решения, условие дополняющей нежесткости

26. Приведите условия существования минимума в задачах условной оптимизации с ограничениями типа неравенств

27. Дайте геометрическую интерпретацию теореме Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа неравенств (при числе поисковых переменных равном 2 и числе ограничений-неравенств равном 3)

28. Сформулируйте теорему Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями типа равенств и типа неравенств

29. Приведите следствия из теоремы Куна-Таккера для задачи условной оптимизации с ограничениями равенствами и неравенствами: условие стационарности, условие допустимости решения, условие дополняющей нежесткости

30. Приведите классификацию задач оптимизации по виду критерия оптимальности и ограничивающих функций

31. Приведите классификацию задач оптимизации по наличию или отсутствию ограничений

32. Приведите классификацию задач оптимизации по характеру ограничений

33. Приведите классификацию задач оптимизации по размерности вектора переменных

34. Приведите классификацию задач оптимизации по количеству точек минимума

35. Приведите классификацию задач оптимизации по характеру искомого решения