Организация управления материальным обеспечением при ликвидации последствий аварий, катастроф и стихийных бедствий

В настоящий момент экономика России переживает тяжелейший период реформирования.

Катастрофические ошибки, допущенные в этом процессе в период 1989-1998 годов поддаются исправлению с величайшим трудом. Не является исключением и комплекс мероприятий экономического обеспечения предупреждения и ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций. Экономика гражданской защиты является системой, целиком и полностью интегрированной в экономику государства, и в полном объеме испытывает все негативные последствия ее непрофессионального реформирования.

В настоящее время мероприятия экономического обеспечения РСЧС и войск ГО России финансируются на 40-60% от потребностей, что не может не сказаться на своевременном, бесперебойном и полном удовлетворении экономических потребностей системы гражданской защиты.

В целях минимизации негативных последствий, недопущения срывов поставок материальных средств представляется целесообразным смоделировать процесс управления запасами системы материального обеспечения сил и мероприятий гражданской защиты с целью выявления наиболее экономичной модели.

Введем обозначения:

q	-	длительность планируемого периода;
N	-	спрос за планируемый период;
K	-	накладные расходы;
S	-	стоимость хранения единицы материальных средств в единицу времени;
P	-	штраф за дефицит материальных средств в единицу времени;
l	-	интенсивность (скорость) поставки, то есть количество материальных средств, поставляемых в единицу времени;
m	-	интенсивность спроса, то есть количество материальных средств, спрашиваемых получателями в единицу времени;
X	-	максимальный уровень запасов (объем хранилища);
T	-	период поставки;
q	-	объем спроса за период поставки;
d	-	предельный уровень дефицита;
L	-	суммарные расходы за планируемый период;
Le	-	средние расходы в единицу времени;
Lt	-	суммарные расходы за период поставки.

 

Ясно, что должны выполняться соотношения:

m < l, (1)

S < P, (2)

в противном случае системы просто не существует как таковой. Так, в нарушении условия (1) система не способна накопить запас, а при нарушении условия (2), выгоднее расплачиваться штрафом за дефицит, нежели что-то хранить, так что при этом системы просто даже не нужно создавать. Поэтому, в дальнейшем, при рассмотрении различных моделей управления запасами, предполагается выполнение условий (1) и (2).

Будем предполагать, что накладные расходы К не зависят от объема поставок (они связаны с ее оформлением). Расходы на хранение пропорциональны объему запаса и времени хранения, Штраф за дефицит пропорционален объему и времени дефицита.

1. Использование детерминированной многопериодной модели управления запасами без дефицита, с мгновенными поставками, с постоянным спросом.

При постоянном спросе интенсивность спроса m постоянна, то есть остается неизменной в течении всего периода работы системы. Модель с мгновенными поставками предполагает, что интенсивность поставки много больше интенсивности спроса

m < l. (3)

Это значит, что в начальный момент времени, в силу условия (3), система практически мгновенно заполняется до уровня запасов Х и затем на протяжении всего периода поставки Т только выдает материальные средства. К концу периода поставки уровень запасов в системе снижается до нуля. Затем весь цикл повторяется. На протяжении всего периода поставки система несет расходы по хранению материальных средств.

Рассмотрим расходы за период поставки Lт. Они складываются из двух составляющих: из накладных расходов и собственно расходов на хранение. Так как уровень запасов меняется линейно от максимального уровня запасов до нуля, то в среднем в единицу времени хранится ровно половина максимального уровня запасов Х, тогда

Lт=XST/2+K. (4)

Найдем средние расходы в единицу времени, для этого разделим (4) за период поставки Т: Le=(XST/2+K)/T. Откуда

Le=XS/2+K/T. (5)

Учитывая, что в данной системе спрос за период поставки Т равен максимальному уровню запасов, интенсивность спроса m = Х/Т

Откуда находим

Т = Х/m (6)

Подставляя (5) в (6), получаем

Lе = XS/2 + Km/X (7)

В задаче требуется найти такое значение Х, при котором средние расходы в единицу времени были бы минимальны. Следует также учесть, что максимальный уровень запасов не может быть отрицательным, то есть

Х > 0. (8)

Для решения этой задачи, приравниваем производную от Lе по Х к нулю, получим уравнение

S/2 - Km/X² = 0 .

Решая его относительно Х с учётом (8), находим

Х = (2Кm/S)^1/2. (9) подставляя (9) в (6), получаем

Х = (2Кm/S)^1/2. (10)

Подставляя (9) в (7), находим

Lе = (2КmS)^1/2. (11)

Формулы (9) - (11) задают оптимальное значение интересующих нас параметров рассматриваемой модели.

В случае необходимости задания длительности планируемого периода q её выбирают кратной периоду поставки Т, при этом суммарные расходы за планируемый период задаются формулой

L = q (2KmS)^1/2. (12)

Формула (12) получается путём умножения (11) на q.

Рассмотрим более сложные модели

2. Использование детерминированной многопериодной модели управления запасами с дефицитом, с мгновенными поставками, с постоянным спросом.

Рассмотрим вариант более сложной модели, отличающийся от ранее рассмотренного тем, что в ней допустим дефицит. Это означает, что спрос q за период поставки Т превышает максимальный уровень запасов Х, и поэтому к концу периода поставки Т возникает дефицит d. При этом, имеет место соотношение

q = X + d. (13)

Проанализируем работу данной модели на периоде поставки. В начальный момент времени, как и в предыдущей модели, в силу условия (3) система практически мгновенно заполняется до максимального уровня запасов Х и затем на протяжении интервала времени от нуля до Т* только выдаёт материальные средства. К моменту времени Т* уровень запасов в системе снижается до нуля. Затем на интервале времени от Т до Т система испытывает дефицит и к концу периода поставки Т дефицит достигает своего предельного уровня d, затем весь цикл повторяется.

Таким образом, период поставки Т разбивается на два интервала: от 0 до Т* и Т* до Т. На первом интервале от нуля доТ* система несёт расходы, связанные с хранением материальных средств, а на втором интервале от Т* доТ система несёт расходы, связанные с дефицитом материальных средств, причём дефицит материальных средств покрывается системой путём выплаты штрафов за за дефицит. При этом штрафы за дефицит должны полностью компенсировать убытки потребителей, возникающие из - за дефицита материальных средств.

Рассмотрим расходы за период поставки Lt. Они складываются из трех составляющих: накладных расходов, расходов на хранение и расходов на покрытие дефицита. Так как уровень запасов меняется линейно от максимального уровня запасов до нуля, а затем от нуля до предельного уровня дефицита, то в среднем в единицу времени на интервале от нуля до Т^* хранится ровно половина максимального уровня запасов, а на интервале от Т^* до Т в среднем в единицу времени испытывается дефицит, равный половине предельного уровня дефицита, тогда:

Lt=XST^*/2+dP(T-T^*)/2+K. (14)

Первое слагаемое формулы (14) описывает расходы на хранение, второе - расходы за дефицит, третье - накладные расходы.

Найдем средние расходы в единицу времени Le. Для этого разделим (14) на период поставки Т.

Le=XST^*/2T+dP(T-T^*)/2T+KT. (15)

Интенсивность спроса m численно равна количеству материальных средств, требуемых получателями в единицу времени. В данной модели m=q/T, откуда

T=q/m. (16)

Подставляя (16) в (15), получаем:

Le=XSmT^*/2q+dPm(T-T^*)/2q+Km/q. (17)

Кроме того, справедливы соотношения

mT^*=X, (18)

m(T-T^*)=d. (19)

Из (13) находим:

d=q-X. (20)

Подставляя (20) в (19) получаем:

m(T-T^*)=q-X. (21)

Подставляя (18), (20), (21) в (17) получаем:

Le=X²S/2q+(q-X)²P/2q+K/q. (22)

Задача состоит в определении таких значений Х и q, при которых средние расходы в еденицу времени будут минимальны, при условии что максимальный уровень запаса и объёма спроса за период поставки величены неотрицательные, то есть

X > 0 (23)

q > 0 (24)

Для определения минимума (22) приравняем к нулю частные производные от Le по X и q, в результате получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

SX/q - P(q - X)/q = 0. (25)

-X²S/2q² + P(q² - X²)/2q² - Km/q² = 0 (26)

Систему уравнений (25) - (26) можно упростить. В результате получаем:

(S + P)X - Pq=0 (27)

Pq² - (S + P)X² - 2Km = 0 (28)

Решим систему уравнений (27) - (28). Из уравнения (27) находим

q = X(S + P)/P (29)

Подставляя (29) в (28), получаем уравнение

(X²(S + P)²)/P - (S + P)X² - 2Km = 0

Решая его относитально Х с учётом (23), находим

X = (2Km/S)^1/2(P/(S + P))^1/2. (30)

Подставляя (30) в (29), получаем

q = (2Km/S)^1/2((S + P)/P)^1/2. (31)

Подставляя (31) в (16), находим

T = (2K/mS)^1/2((S + P)/P)^1/2. (32)

Подставив (30) и (31) в (22) и выполнив соответствующие преобразования, получаем:

Le=(2RmS)^1/2(P/(S+P))^1/2. (33)

Формулы (20) и (30)-(33) задают оптимальные значения параметров рассматриваемой модели.

В случае необходимости задания длительности планируемого периода q, уу выбирают кратной периоду поставки Т, при этом суммарные расходы за планируемый период q определяются по формуле:

L=q(2KmS)^1/2(P/(S+P))^1/2. (34)

Формула (34) получается путем умножения (33) на q.

3. Использование детерминированной многопериодной модели управления запасами общего вида.

Эта модель допускает наличие дефицита и, кроме того, в отличии от ранее рассмотренных моделей, интенсивность (скорость) поставки l в ней конечна и постоянна. То есть эта модель с равномерным пополнением запасов.

Для этой модели в отличии от ранее рассмотренных, интенсивность поставки l удовлетворяет только соотношению (1), условию же (3) она не удовлетворяет. Это означает, что величина интенсивности поставки сопоставима с величиной интенсивности спроса m. То есть количество материальных средств, поставляемых в единицу времени, хотя и превышает количество материальных средств, спрашиваемых в единицу времени, но не намного.

Проанализируем работу данной модели на периоде поставки Т. В начальный момент времени уровень запасов в ней равен нулю. Система начинает одновременно и получать, и выдавать материальные средства. Уровень запасов от нуля на интервале времени до Т₁ растет в силу условия (1). И к моменту времени Т₁ он достигает величины максимального уровня запасов Х. Начиная с момента времени Т₁ поставки материальных средств прекращаются, и на интервале времени от Т₁ до Т₂ система только выдает материальные средства. К моменту времени Т₂ уровень запасов в системе снижается до нуля. На интервале времени от Т₂ до Т за дефицит выплачивается штраф, пропорциональный размеру дефицита и времени. К концу периода поставки Т уровень запасов в системе опять равен нулю, и весь цикл повторяется.

Таким образом, период поставки Т разбивается на два интервала: от нуля до Т₂ и от Т₂ до Т. На первом интервале от нуля до Т₂ система несет расходы, связанные с хранением материальных средств, а на втором интервале от Т₂ до Т система несет расходы, связанные с дефицитом материальных средств, причем дефицит материальных средств покрывается системой путем выплаты штрафа за дефицит. При этом штрафы за дефицит должны полностью компенсировать убытки потребителей, возникающие из-за дефицита материальных средств.

Не имея возможности провести детальный анализ рассматриваемой модели вследствие сложности и громоздкости математических выражений, приведём лишь основные результаты.

Итак, средние расходы в единицу времени Le определяются по формуле

Le = (S ₀ò^T1 (l - m)tdt + S _T1ò^T2 (X - m)(t - T₁))dt + P_T2ò^T3 m(t - T₂)dt + P _T3ò^T (d - (l - m) (t - T₃))tdt + K)/T (35)

Соотношение (13) для данной модели не выполняется, и оно заменяется более общим условием

0 < Х < q. (36)

Задача состоит в определении таких значений Х и q, при которых средние расходы в единицу времени будут минимальны при выполнении условия (36).

Для поиска минимума Le следует взять частные производные от Le по Х и q, приравнять их к нулю и решить получившуюся систему уравнений с учётом условия (36).

Проделав всё это получим:

X = (2Km/S)^1/2(P/(S + P))^1/2(1 - m/l)^1/2, (37)

q = (2Km/S)^1/2((S + P)/P)^1/2(1 - m/l))^1/2, (38)

d = (S/P)(2Km/S)^1/2(P/(S + P))^1/2(1 - m/l)^1/2, (39)

T = (2K/mS)^1/2((S + P)/P)^1/2(1/(1 - m/l))^1/2, (40)

Le = (2KmS)^1/2(P/(S + P))^1/2(1 - m/l)^1/2, (41)

Формулы (37) - (41) задают оптимальное значение параметров рассматриваемой модели.

В случае необходимости задания длительности планируемого периода q, её выбирают кратной периоду поставки Т, суммарные расходы за планируемый период q определяются по формуле

L = q(2KmS)^1/2(P/(S + P))^1/2(1 - m/l)^1/2. (42)

Формула (42) получается путём умножения (41) на q.

Сравнение детерминированных моделей управления запасами.

Сопоставляя решение, полученное для модели с дефицитом (30)-(34), с решением, полученным для модели без дефицита (9) - (12), модно сделать вывод, что решение (9) - (12) может быть получено из решения (30) - (34) путём предельного перехода при штрафе за дефицит Р, стремящемся к бесконечности.

Сравним расходы для модели с дефицитом (33) с расходами для модели без дефицита (11). Они отличаются на множитель

(P/S + P)^1/2 < 1.

Это значит, что расходы для модели с дефицитом всегда меньше соответствующих расходов для модели без дефицита. Это происходит оттого, что система с дефицитом на более продолжительном периоде поставки Т хранит меньший объём материальных средств, чем система без дефицита.

Сопоставляя решение, полученное для модели с дефицитом с мгновенными поставками (30) - (34), с решением, полученным для модели общего вида (37) - (42), можно сделать вывод, что решение (30) - (34) может быть получено из решения (37) - (42) путём предельного перехода при интенсивности поставки l, стремящейся к бесконечности.

Сравним расходы для модели с дефицитом с мгновенными поставками (33) с расходами для модели общего вида (41). Они отличаются на множитель (1 - m/l)^1/2 < 1.

Это значит, что расходы для модели общего вида всегда меньше соответствующих расходов для модели с дефицитом с мгновенными поставками. Это происходит вследствие того, что система общего вида на более продолжительном периоде поставки Т хранит меньший объём материальных средств, чем система с дефицитом с мгновенными поставками.

Таким образом, экономически самой выгодной оказывается последняя из рассмотренных нами моделей, самой же дорогой, то есть экономически невыгодной, - первая модель, модель с мгновенными поставками без дефицита.

Пример. Для ликвидации чрезвычайной ситуации регионального масштаба в течении месяца (30 суток) требуется 3000 единиц материальных средств. Материальные средства хранятся в бункерах. Стоимость хранения 20 условных единиц (усл. ед.) за тонну в сутки. Накладные расходы 57, 5 усл. ед. Интенсивность спроса 100 единиц в сутки. Процесс ликвидации ЧС ведется круглосуточно. Определить максимальный объём запаса материальных средств, спрос за период поставки, предельный уровень дефицита, период поставки с тем, чтобы средние расходы в единицу времени и суммарные расходы за планируемый период были бы минимальны при условии, что

1) поставки мгновенные и дефицит запрещён;

2) поставки мгновенные, дефицит разрешён и штраф за дефицит 36 усл. ед. за тонну в сутки.

3) интенсивность поставки 112.5 т в сутки, штраф за дефицит 36 усл. ед за тонну в сутки.

Решение:

1) X = q = 25 т, d = 0, T = 6 ч, Le = 700 усл. ед., L = 21000 усл. ед.

2) Х = 18.75 т, q = 33.3333 т, d = 14.5833 т, Т = 8 ч, Le = 525 усл. ед., L = 15750 усл. ед.

3) Х = 6.25 т, q = 100 т, d = 4.8611 т, Т = 24 ч, Le = 175 усл. ед., L = 5250 усл. ед.

Сопоставляя решение вариантов 1), 2) и 3), видим, что расходы в системе без дефицита больше соответствующих расходов системы с дефицитом, а расходы в ситеме с дефицитом с мгновенными поставками в свою очередь больше соответствующих расходов детерминированной многопериодной системы общего вида. Что подтверждает сделанные ранее выводы.

Таким образом, система материального обеспечения с целью минимизации экономических издержек должна содержать дефицит, и управление запасами должно осуществляться на основе модели общего вида.