За даними таблиці отримуємо визначник трикутного вигляду разом з поправочним коефіцієнтом

 

Приклад 2. Обчислити визначник

Обчислювальна таблиця

N п/п						сума	Конт- роль
				-2
		-2
	-2
		-16	-1		-11	-20	-20
		-6	-8		-8	-8	-8
		-8	-9		-23	-26	-26
			-240	-256	-80	-576	-576
				-176
				-160
				73 472	-5 120	68 352	68 352
				73 216	-56 320	168 896	168 896
					-3 763 077 120	-3 763 077 120	-3 763 077 120

 

Приклади

Обчислити визначники:

. .

 

 

. .

Відповіді:

 

Матриці. Означення. Види матриць

 

Означення 1. Матрицею розміру називається прямокутна таблиця, складена із чисел вигляду , розміщених в рядках і стовпцях, яка позначається

Скорочено пишуть . Зустрічаються також позначення

числа називаються елементами матриці.

Означення 2. Дві матриці А і В однакових розмірів називаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні елементи, . Позначається

Розглянемо основні види матриць.

Нульовою називається матриця розміру , всі елементи якої дорівнюють нулю.

Квадратною називається матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців . У цьому випадку говорять, що матриця має порядок (замість розміру ).

Діагональною називається така квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі відмінні від нуля, а всі решта елементів дорівнюють нулю, позначається

Діагональна матриця, в якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею, і позначається

Матриця що складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем

.

Аналогічно, матриця-рядок складається з одного рядка

Звернемо увагу, що ряд факторів пов’язаних з поняттям матриці для багатьох так чи інакше могли бути відомими ще до знайомства з самим терміном.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Відомість на отримання стипендії для 20 студентів є прикладом матриці розміром 20х1, елементами якої є розмір стипендії кожному.

Приклад 2. У відомості на зарплату бригаді для 15 робітників можуть бути вказані суми: нарахована, утримана і до оплати. Дані цієї відомості теж представляють матрицю розміру 15х3.

Приклад 3. При виконанні робіт в шахті (метро, тунелі) по проходці можна виділити два основних види робіт: виїмка породи (сюди входить буріння шпурів, заряжання, зривання, прибирання породи) і кріплення. Обидва види робіт при сталій площі поперечного перетину можуть вимірюватись в погонних метрах. Припустимо, що протягом доби кожна із трьох змін добилися таких результатів:

 

Зміни	Виїмка (в м)	Кріплення (в м)
І-а зміна
ІІ-а зміна
ІІІ-я зміна

 

Ці результати можна записати у вигляді матриці розміром 3х2:

 

Лінійні дії над матрицями

 

Іноді в роботі з таблицями (матрицями) прикладів типу 1–3 із 1.8., доводиться виконувати над ними певні операції. Так, якщо в прикладі 1 потрібно підрахувати заплановий розмір стипендій за семестр (6 місяців), то очевидно необхідно кожний елемент цієї матриці помножити на 6. Виникає необхідність множити матрицю на число.

Якщо в умовах прикладу 2 ми маємо відомості 3-х місяців одного квартала, то можна скласти зведену відомість за квартал, додаючи розміщені у відповідних графах дані стосовно кожного робітника.

Приходимо до дії додавання матриць.

Якщо в умовах прикладу 3, 1.8. позначити через і – результати роботи 3-х змін за першу і другу добу відповідно, то можна знайти сумарні результати за дві доби додаванням відповідних елементів і позначити це

Отже з прикладів бачимо, що цілком природно виникає необхідність дій множення матриці на число і додавання матриць.

Означення 1. Добутком числа на матрицю розміру називається нова матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці помноженному на число , тобто

Матриця (–1) – протилежна матриці , і позначається .

Дія додавання вводиться тільки для матриць одного і того ж розміру.

Означення 2. Сумою двох матриць і розміру називається матриця того ж розміру, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць–доданків, тобто , і позначається .

Якщо ж , то — різниця матриць.

Дії додавання, віднімання і множення матриць на число називаються лінійними діями над матрицями.

Можна перевірити, що вони мають такі властивості:

Тут позначено через 0 – нульову матрицю і — протилежну матриці .

Вправа. Перевірити властивості 1–8 для матриць

і чисел .

Приклад. Задані матриці

, .

Знайти 1) ; 2) .

Розв’язання. 1)

.

 

2) .

Множення матриць

 

Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці

 

 

записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок

 

де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець: – відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.

Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену -ю зміною . Аналогічно підраховуються капітальні затрати для -ої зміни по виїмці і кріпленню.

 

Отримаємо таблицю затрат

 

Зміни	Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню	Капітальні затрати по виїмці і кріпленню
І-а зміна
ІІ-а зміна
ІІІ-я зміна

 

 

Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матриць і за допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають

Для множення матриці розміру на матрицю розміру необхідна їх узгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці (другого співмножника). Так в наведеному прикладі матриця узгоджується з матрицею (для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матриця не є узгодженою з матрицею .

Означення 1. Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається матриця розміру , елементи якої дорівнюють сумі добутків елементів -того рядка матриці на відповідні елементи -того стовпця матриці , тобто

.

Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матриць і : кожному елементу в -тому рядку матриці (першого співмножника) повинен відповідати елемент в -тому стовпці матриці (другого співмножника). Число рядків матриці дорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.

Приклад 1. Знайти добуток матриць і , якщо , .

Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці - 2х3. Число стовпців матриці дорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці . Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицю на матрицю . В результаті отримаємо матрицю розміром 2х3, тобто

.

Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць

Звернути увагу, що в даному випадку .

Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць

Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .