Построение доверительных интервалов

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением извлекается выборка объема , по которой находится точечная оценка параметра .

2. Строится , связанная с параметром и имеющая известную плотность вероятности .

3. Задается уровень значимости .

4. Используя плотность вероятности , определяют два числа и такие, что (27)

5. Выбираются значения и из условий

.

Неравенство преобразуется в равносильное такое, что (28)

Полученный интервал , накрывающий неизвестный параметр с вероятностью , и является интервальной оценкой параметра .

Интервальная оценка также носит случайный характер, т.к. она напрямую связана с результатами выборки. Она позволяет сделать следующий вывод.

Если построен доверительный интервал, который с надежностью накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по выборкам одинакового объема , то в случаях построенные интервалы накрывают истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто приходится находить доверительные интервалы параметров случайных величин, имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.

I. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной при известной дисперсии

Пусть количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение с заданной дисперсией и неизвестным математическим ожиданием m (X ~ N (m, σ²)).

Построим доверительный интервал для .

1. Пусть для оценки извлечена выборка объема . Тогда

2. Составим СВ . Нетрудно показать, что СВ имеет стандартизированное нормальное распределение, т.е.

3. Зададим уровень значимости .

4. Применяя формулу нахождения вероятности отклонения нормальной величины от математического ожидания, имеем:

(29)

 

Это означает, что доверительный интервал накрывает неизвестный параметр c надежностью Точность оценки определяется величиной

Отметим, что по таблице Лапласа число определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

 

II. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной СВ при неизвестной дисперсии.

В реальной жизни истинное значение дисперсии исследуемой СВ, чаще всего, известно не будет. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания СВ, имеющей нормальное распределение.

Для этого из генеральной совокупности СВ извлекается выборка объема

1.В качестве точечной оценки математического ожидания используется выборочное среднее а в качестве оценки дисперсии исправленная выборочная дисперсия которой соответствует стандартное отклонение

2. Для нахождения доверительного интервала строится статистика имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы независимо от значений параметров и

3. Задается требуемый уровень значимости .

4. Применяется следующая формула расчета вероятности (30)

где - критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице.

Тогда

(31)

Это означает, что интервал накрывает неизвестный параметр с надежностью