Упражнение 1. Определение амплитудно-частотной характеристики фильтров.

2. На высоких частотах , , т.е. коэффициент усиления обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т.е. на 20 дБ.

3. дБ при .

Для анализа схемы во временной области подадим на вход этой схемы импульс напряжения (рис. 1.3.)

Рис. 1.3. Реакция ФНЧ на скачок напряжения

Чтобы рассчитать выходное напряжение применим правило узлов к ненагруженному выходу. Тогда для схемы, изображенной на рис.1.1. запишем:

А из с учетом получим дифференциальное уравнение:

Оно имеет следующие решения:

(рис. 1.3 б);

Известно, что к установившимся значениям и кривые будут приближаться асимптотически. Поэтому в качестве меры времени установления выходного напряжения принята постоянная времени τ. Она показывает время, в течение которого процесс достигает значения, отличающегося от установившегося на часть величины скачка напряжения на входе. Из решения дифференциального уравнения видно, что постоянная времени равна

Из него же приближенно можно найти время установления выходного напряжения. В таблице 1.2. приведены значения времени установления выходного напряжения.

Таблица 1.2. Значения времени установления фильтра нижних частот

Если в качестве входного сигнала приложено напряжение прямоугольной формы с периодом Т, то экспоненциальная функция прерывается через каждую половину периода.

Какое значение при этом будет достигнуто и, зависит ли оно от соотношения и τ, что и показано на рис. 1.4.

Как было показано ранее, при частотах сигнала выходное переменное напряжение мало по сравнению с входным. В этом случае из дифференциального уравнения в предположении, что следует, что , т.е.

Рис. 1.4. Импульсивный режим работы ФНЧ при различных частотах.

Верхняя кривая - ; средняя - ; нижняя - .

Таким образом, ФНЧ можно рассчитывать как интегрирующее звено.

Другим параметром, характеризующим ФНЧ, является длительность фронта импульса. Этот параметр показывает время, в течение которого выходное напряжение возрастает от 10 до 90 % конечного значения, если на выход подать импульс напряжения прямоугольной формы. Учитывая свойства экспоненциальной функции, из решения дифференциального уравнения получим:

При

Это соотношение с большей степенью точности действительно для ФНЧ.

При последовательном соединении нескольких ФНЧ, обеспечивающих различные длительности фронта выходного импульса результирующая длительность фронта импульса

Частота среза приближенно определяется как

Для случая фильтров с равными частотами среза

Заметим, что колебания в нашей системе (в различных фильтрах) можно рассматривать как сумму двух волн, одна из которых бежит влево по цепи, а другая вправо.

Понятие волны в цепной схеме отличается от соответствующего понятия в распределенной системе, например в двухпроводной линии.

Когда мы говорим, что в цепи распространяется волна напряжения, то имеем в виду, что заданная фаза колебаний напряжения на емкости перемещается со временем от звена к звену (в случае одного звена (фильтра) – от его входа к выходу). Скорость смещения фазы (фазовая скорость сигнала и измеряется в единицах , – сдвиг фаз между соседними звеньями или (что то же самое) сдвиг фазы входного и выходного напряжения.

Работа любых фильтров, в том числе и ФНЧ, основана на зависимости реактивных (индуктивного и емкостного) сопротивлений от частоты, которая выражается формулами

и (1.4)

Отсюда вытекает и принцип работы фильтров. Рассмотрим ФНЧ, изображенный на рис. 1.5 в. Если на вход такого фильтра подать сигналы различных частот, то для сигналов низких частот индуктивное сопротивление катушки L будет малым и они пройдут на выход. Для сигналов высоких частот реактивное сопротивление параллельно включенного конденсатора С является высоким, а для сигналов высоких частот шунтирующее действие конденсатора весьма значительно, так что сигналы ослабляются.

Для полноты картины приведем основные схемы ФНЧ и некоторые расчетные формулы, встречающиеся на практике (без вывода).

Рис. 1.5. Фильтры нижних частот

а, б, в – Г – образные фильтры; г – Т – образный фильтр; д – П – образный фильтр

Включив последовательно с входом фильтра амперметр, можно измерить ток I_вх во входной цепи. Тогда: - характеристический импеданс системы.

Параметр Z₀ также называют итеративным (повторяющимся), если считать, что Z₀ не зависит от числа звеньев фильтра, а также от вида этого звена (рис. 1.5 а-г).

Если фильтр, состоящий из одного или нескольких звеньев нагружен на резистор сопротивления , то ток в нагрузке соответствует току в бесконечно длинной линии, поэтому и в этом случае . В случае равенства имеет место передача максимальной энергии сигнала. Волновое сопротивление (характеристический импеданс Z₀) определяется следующим выражением:

(в случае )

Фильтры указанной конструкции характеризуются постоянной величиной k, не зависящей от частоты, которая определяется как

, где

Z₁, Z₂ – соответственно последовательное и параллельное сопротивления схем на рис. 1.5. (любые реактивные и резистивные компоненты). Полное значение индуктивности и емкости этих фильтров определяется как

и

Фильтр верхних частот.

ФВЧ – это схема, которая передает без изменения сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простого RC фильтра верхних частот приведена на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Простой ФВЧ

Амплитудно-частотные характеристики снова получим по формулам для отношения напряжений:

Отсюда находим:

и

Обе кривые представлены на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Диаграмма Боде для фильтра верхних частот

Выражение для частоты среза совпадает с соответствующим выражением для ФНЧ:

(1.5)

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет +45⁰. Как и для ФНЧ наиболее просто составить амплитудно-частотную характеристику в двойном логарифмическом масштабе с помощью асимптот:

1. дБ на высоких частотах

2. На низких частотах , т.е. коэффициент передачи пропорционален частоте.

3. дБ при .

При расчете реакции на импульс напряжения применим для ненагруженного выхода второй закон Кирхгофа:

При U_вх=0 получим дифференциальное уравнение

Его решение имеет вид:

Пьезоэлектрический фильтр

Отметим, что фильтры, состоящие из индуктивностей и емкостей, не пригодны для пропускания очень узкой полосы частот. При необходимости получения фильтра с очень узкой полосой возможно использование электромеханических фильтров, из которых наибольшее распространение получили кварцевые (пьезокерамические) фильтры. Их действие основано на пьезоэлектрическом эффекте кварцевых кристаллов. Прямоугольная пластинка кварца, вырезанная с определенной ориентацией относительно осей кристалла помещается в специальный кварцедержатель, с помощью которого она присоединяется к схеме (рис. 1.15).

При механической деформации такой пластины на ее обкладках появляется электрический заряд (прямой пьезоэффект), а под воздействием приложенного к ней напряжения пластина механически деформируется (обратный пьезоэффект). Кварцевая пластина с металлическими обкладками может быть представлена электрической схемой (рис. 1.16), где L и C – индуктивность и емкость, эквивалентные пластине, R – активное сопротивление, соответствующее переходу энергии в тепловую при трении, а С₀ – емкость конденсатора, образованного обкладками с кварцем в качестве диэлектрика. Параметры такого контура весьма своеобразны: индуктивность L достигает десятка Генри, а емкость C не превышает десятых долей пикофарад при активном сопротивлении порядка единиц или десятков Ом. Поэтому добротность такого контура может достигать несколько десятков тысяч, что соответствует очень узкой полосе пропускания. Стабильность этой полосы очень высокая, особенно при так называемом «косом» срезе кварца, когда влияние температуры на параметры пластины минимально.

При рассмотрении схемы рис. 1.16. можно заключить, что тут присутствуют два резонансных контура – последовательный (LC) и параллельный (ветвь LC и C₀). Каждый из этих контуров имеет соответствующую резонансную частоту:

и

Учитывая, что обычно C<<C₀, резонансные частоты f₁ и f₂ очень близки друг к другу и полосе пропускания, которая приближенно равна разности этих частот, будет весьма узкой. Присоединяя к кварцу добавочное реактивное сопротивление, можно в известных пределах регулировать ширину полосы прозрачности такого фильтра.

Электрические схемы

Внешний вид установки для исследования линейных LC, RC,RL цепей

Ход работы

Упражнение 1. Определение амплитудно-частотной характеристики фильтров.

1. Подключить вольтметры V1 на вход и V2 на выход фильтров.

2. Подключить генератор соблюдая полярность («+» верхней клемме, «-» к нижней клемме).

3. Определить диапазоны частот начиная с 0, на котором происходят изменения состояния фильтров. (Если ФНЧ, то фильтр начинает закрываться, если ФВЧ, то фильтр начинает открываться, а для полосового фильтра нужно определить два диапазона частот при которых фильтр в начале открывается, потом закрывается).

4. На выбранном диапазоне частот (для соответствующего фильтра) снять 12 – 15 значений входного и выходного напряжения. Показания занести в таблицу 3.1. 5.. Определить комплексный коэффициент усиления по напряжению

6. Построить амплитудно-частотную характеристику А=f ()

Сравнить расчеты по измеренным данным с расчетами полученными теоретически.

7. По АХЧ определить полосу пропускания.