Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

При рассмотрении марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние.

Рис. 4.4. Размеченный граф состояний системы

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге (стрелке). l _ij – интенсивности потока отказов; m _ij – интенсивности потока восстановлений, переводящие систему из состояния S_i в S_j. Такой граф называется размеченным (рис. 4.4).

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.

Пусть рассматриваемая система S имеет n возможных состояний S ₁, S ₂, …, S_n. Вероятность i -го состояния p_i (t) – это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S_i. Для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице: .

Для нахождения всех вероятностей состояний p_i (t) как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений базируется на понятии финальной вероятности состояния.

При t ® ¥ в системе устанавливается стационарный режим, при котором система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Пределы вероятностей состояний при t ® ¥, если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, называются финальными вероятностями состояний:

, где n – конечное число состояний системы.

.

Финальная вероятность состояния S_i – это среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния p_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.