Дифференциальные уравнения. «Сибирский федеральный университет»

Высшего образования

«Сибирский федеральный университет»

ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА, ГЕОЛОГИИ И ГЕОТЕХНОЛОГИЙ

МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов-заочников специальностей

21.05.04 «Горное дело»

Горные машины и оборудование

Электрификация и автоматизация горного производства

Открытые горные работы

Семестра

Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение

Высшего образования

«Сибирский федеральный университет»

ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА, ГЕОЛОГИИ И ГЕОТЕХНОЛОГИЙ

МАТЕМАТИКА

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов-заочников специальностей

21.05.04 «Горное дело»

Семестра

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Ниже приведены таблицы номеров задач, входящих в задания на контрольные работы, по учебным планам. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его номера студенческого билета (шифр).

Студенты, изучающие математику 4 семестра, выполняют:

Контрольные работы № 1 (1 семестр).

Контрольные работы № 2 (2 семестр).

Контрольные работы № 3 (3 семестр).

Контрольные работы № 4 (4 семестр).

Вариант	Контрольная работа №1

	Вариант	Контрольная работа №2

Вариант	Контрольная работа №3

Вариант	Контрольная работа №4

Элементы векторной алгебры

И аналитической геометрии

11 – 20. Даны координаты вершин пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄. Найти:
1) длину ребра А ₁ А ₂; 2) угол между ребрами А ₁ А ₂и А ₁ А ₄; 3) угол между ребром А ₁ А ₄и гранью А ₁ А ₂ А ₃; 4) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А ₁ А ₂; 7) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃. Сделать чертеж.

11. А ₁(2; 1; –4), А ₂(1; –2; 3), А ₃(1; –2; –3), А ₄(5; –2; 1).

12. А ₁(2; –1; 3), А ₂ (–5; 1; 1), А ₃(0; 3; –4), А ₄(–1; –3; 4).

13. А ₁(5; 3; 6), А ₂ (–3; –4; 4), А ₃(5; –6;8), А ₄(4; 0; –3).

14. А ₁ (5; 2; 4), А ₂(–3; 5; –7), А ₃(1; –5; 8), А ₄(9; –3; 5).

15. А ₁ (7; –1; –2), А ₂(1; 7; 8), А ₃(3; 7; 9), А ₄(–3; –5; 2).

16. А ₁ (–2; 3; 4), А ₂(4; 2; –1), А ₃(2; –1; 4), А ₄(–1; –1; 1).

17. А ₁ (0; 4; –4), А ₂(5; 1; –1), А ₃(–1; –1; 3), А ₄(0; –3; 7).

18. А ₁ (0; –6; 3), А ₂(3; 3; –3), А ₃(–3; –5; 2), А ₄(–1; –4; 0).

19. А ₁ (2; –1; 3), А ₂(–5; 1; 1), А ₃(0; 3; –4), А ₄(–1; –3; 4).

20. А ₁ (2; 1; –4), А ₂(1; –2; 3), А ₃(1; –2; –3), А ₄(5; –2; 1).

31 – 40. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить график кривой.

31. x ²+ у ² – 4 x + 2 у = 4; 32. x ²– у ² – 4 у – 13 = 0;

33. x ²– 4 x + 2 у + 2= 0; 34. x ²+ 4 x + 4 у ² + 8у – 5 = 0;

35. x ²– 6 у ² – 12 x + 36 у – 54 = 0; 36. 2 x ²+ 4 x + 18 у ² – 16= 0;

37. 2 x ²+ 2 у ²+ 4 x – 8 у – 8 = 0; 38. – x + у ² + 2 у = 0;

39. 3 x ²+ 5 у ² + 12 x – 10 у + 2 = 0; 40. 4 x ²– 3 у ² – 8 x – 6 у – 11 = 0.

Элементы линейной алгебры

51 – 60. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса:

51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.

71 – 80. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w ³+ z = 0.

71.	72.	73.
74.	75.	76.
77.	78.	79.
80.

Введение в математический анализ

91 – 100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

91. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

92. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

93. a) ; б) ;

в) ; г) ; д).

94. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

95. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

96. a) ; б) .

в) ; г) ; д) .

97. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

98. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

99. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

100. a) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

4. Производная и еЁ приложения

121 - 130. Найти производные данных функций.

121. a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

122. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

123. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

124. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

125. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

126. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

127. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

128. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

129. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

130. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

5. Приложения дифференциального

Исчисления

151 – 160. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя полученные результаты, построить её график.

151. . 152. .

153. . 154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160. .

6. Дифференциальное исчисление функций

Нескольких переменных

161 – 170. Найти а) ; б) .

161.	a) ,	б) .
162.	а) ,	б) .
163.	а) ;	б) .
164.	а) ;	б) .
165.	а) ;	б) .
166.	а) ;	б) .
167.	а) ;	б) .
168.	а) ;	б) .
169.	а) ;	б) .
170.	а) ;	б) .

191 – 200. Даны функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора .

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

7. НеопределЁнный и определЁнный

Интегралы

201 – 210. Найти неопределенные интегралы. В пп. «а» и «б» результаты проверить дифференцированием.

201.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
202.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
203.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
204.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
205.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
206.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
207.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
208.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
209.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .
210.	a) ;	б) ;
	в) ;	г) ;
	д) ;	е) .

211 – 220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

211.	а) ;	б). .
212.	а) ;	б). .
213.	а) ;	б). .
214.	а) ;	б). .
215.	а) ;	б). .
216.	а) ;	б). .
217.	а) ;	б). .
218.	а) ;	б). .
219.	а) ;	. б). .
220.	а) ;	б). .

Дифференциальные уравнения

231 – 240. Найти общее решение дифференциального уравнения.

231.	а) ;	б) .
232.	а) ;	б) .
233.	а) ;	б) .
234.	а) ;	б)
235.	а) ;	б) .
236.	а) ;	б)
237.	а) ;	б) .
238.	а) ;	б) .
239.	а) ;	б) .
240.	а) .	б) .

251 – 260. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям y (0) = y ₀,
y' (0)= y' ₀. (Задача Коша).

251. y'' – y' ; , .

252. y'' + y ; y (0) = 4; ;

253. y'' +7 y' +12 y = ; y (0) = 1, y' (0) = 1;

254. y'' –2 y' = x ²–1; y (0) = 1, y' (0) = 1;

255. y''- ; y (0) = 1, y' (0) = 1.

256. y'' + 9 y y (0) = ; y' (0) = 0.

257. y'' – 4 y' +8 y ; y (0) = 2, y' (0) = 3.

258. y'' – 2 y' = ; y (0) = 2, y' (0) = 2.

259. y '' +2 y ' +10 y ; y (0) = 0, y' (0) = .

260. y'' – 6 y' +9 y = ; y (0)=1, y' (0)=3.

9. Кратные, криволинейные

И поверхностные интегралы

281 – 290. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость xOy.

281.	;	.
282.		.
283.	,	.
284.	,	.
285.	,	.
286.	,	.
287.		.
288.	,	.
289.	,	.
290.	,	.

Ряды

301 – 310. Исследовать сходимость числового ряда .

301. ; 302. .

303. ; 304. .

305. ; 306.

307. ; 308. .

309. ; 310. .

311–320. Найти область сходимости ряда.

311. ; 312. .

313. ; 314. .

315. ; 316.

317. ; 318.

319. ; 320. .

331 – 340. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .