Рекомендуемые правила по округлению результатов измерений

Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одной или двумя значащими цифрами. Погрешность измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной цифрой – если первая 3 и более.

Результат измерения округляют до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Например: (5,08 ± 0,12) м; (25,1 ± 0,4) °С; (6,046 ± 0,008) с.

Округление производят лишь в окончательном ответе, а все промежуточные вычисления проводят с одним или двумя лишними знаками.

 

Проверка соответствия результатов измерения закону нормального распределения

Проверка соответствия результатов многократных измерений закону нормального распределения – это один из первых этапов их обработки. При числе наблюдений n>40 для проверки нормальности распределения результатов строят гистограмму. Если огибающая гистограмму кривая соответствует по внешнему виду «колоколу» Гаусса, то это указывает на нормальный закон распределения результатов измерений. Построение гистограммы рассматривается ниже.

Закон распределения также определяют, используя статистический критерий Пирсона (хи-квадрат) при n>50.

При 50>n>15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207.

При n<15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному закону не проверяется

Построение гистограммы

Гистограмма дает наглядное графическое представление о распределении результатов измерений. Ее строят для интервальных рядов данных, причем число результатов должно быть достаточно большим (не менее 40). Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых равны границам интервалов, а высота соответствует абсолютным или относительным частотам попадания результатов в интервалы.

Обычно построение гистограммы состоит из нескольких этапов:

1. Расчет размаха R из n результатов измерений (размах – это разница между наибольшим Х_max и наименьшим X_min значениями)

. (3.11)

2. Определение количества интервалов k по формуле

k = 1 + 3,3× lg n (3.12)

или по упрощенной формуле

k = (3.13)

Полученное значение k можно округлить. Обычно 6<k<20.

3. Вычисление ширины интервалов гистограммы h

h = . (3.14)

4. Расчет границ интервалов. Границы интервалов выбирают обычно таким образом, чтобы они не совпадали с результатами измерений и крайние интервалы были заполнены.

5. Подсчет числа попаданий результатов в интервалы. Полученные результаты сводят в таблицу.

6. Построение столбчатой гистограммы.

Если полученная гистограмма соответствует «колоколу» Гаусса (рис. 2.3), то результаты измерений распределены по нормальному закону.

 

Пример. 50-кратные измерения напряжения (В) дали результаты, приведенные ниже. Необходимо определить закон распределения результатов измерения, построив гистограмму.

 

20,62	20,40	20,60	20,53	20,45	20,65	20,59	20,70	20,60	20,60
20,64	20,58	20,80	20,60	20,57	20,60	20,70	20,60	20,60	20,60
20,46	20,60	20,75	20,51	20,70	20,75	20,55	20,60	20,55	20,42
20,48	20,66	20,52	20,58	20,73	20,73	20,57	20,55	20,65	20,60
20,66	20,67	20,67	20,70	20,58	20,60	20,50	20,50	20,80	20,50

Решение.

Рассчитаем размах результатов R по формуле (3.11)

R = 20,80 – 20,40 = 0,40 В.

Определим количество интервалов по формуле (3.12):

k = 1 +3,3× lg 50 = 6,6» 7.

По формуле (3.14) вычислим ширину интервалов

h = В

Далее составим таблицу, в которую запишем границы интервалов и частоту попадания результатов в указанные интервалы (табл. 3.4). Наименьший результат измерения 20,40 В, поэтому нижнюю границу первого интервала целесообразно выбрать равной

20,40 - = 20,37 В

Чтобы границы интервалов не совпадали с результатами, добавим к ним один разряд.

 

Таблица 3.4

Расчет гистограммы

 

Границы интервалов, В	Частота попадания в интервалы, hm	Относительная частота, hm/n
20,375 – 20,435		0,04
20,435 – 20,495		0,06
20,495 – 20,555		0,14
20,555 – 20,615		0,42
20,615 – 20,675		0,12
20,675 – 20,735		0,12
20,735 – 20,795		0,06
20,795 – 20,855		0,04
Итого	n = 50	Р = 1,00

 

Строим гистограмму. По оси абсцисс откладываем границы интервалов, а по оси ординат – абсолютные или относительные частоты (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Гистограмма

 

Легко и достаточно быстро построить такую гистограмму можно в редакторе EXCEL. Полученная гистограмма соответствует «колоколу» Гаусса, что говорит о нормальном распределении результатов измерений напряжения.