С помощью первой производной

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает.

4. Если в окрестности критической точки меняет знак

с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

 

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

 

Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: .

 

Решение: Найдем первую производную функции .

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

		0		2
	+	0	-	0	+
		т. max		т. min -4

Ответ: Функция возрастает при ;

функция убывает при ;

точка минимума функции ;

точка максимума функции .

 

Правило нахождения экстремумов функции

С помощью второй производной

1. Найти производную .

2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых .

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производнаяокажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 1: Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: .

Решение: Находим производную: .

Решая уравнение , получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: .

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, , то при функция имеет минимум: .

Ответ: Точка минимума имеет координаты .

 

Направление выпуклости графика функции.

Точки перегиба

Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

yy

 

 

xx

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

 

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

y

 

x

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная об-

ращается в нуль или терпит разрыв.