II. Работа силы при вращательном движении

Элементарная работа силы, действующей на i-тую материальную точку тела, вращающегося относительно неподвижной оси, может быть представлена в виде:

dA = F·cosα·dl

Учтем, что за малый промежуток времени dt путь, пройденный материальной точкой dl, представляет собой длину дуги окружности, по которой движется точка: dl = R·dφ.

Следовательно, dA = F·cosα·dl = F·cosα·R·dφ

С другой стороны, из определения момента силы при движении тела вокруг закрепленной оси: M = R·F.

Таким образом, с учетом скалярного произведения векторов получим:

dA = M·cosα·dφ = (M · dφ)

Полная работа при вращательном движении равна:

A = ∫dA = ∫ M·cosα·dφ = ∫(M · dφ)

III. Энергия механического движения.

К механической энергии относят два вида энергии – кинетическую (W_k) и потенциальную (W_p). Чтобы получить выражение энергии в виде функции параметров состояния механического движения, надо найти, как изменяется величина энергии с изменением величины параметров.

Кинетической энергией называется энергия движущегося тела.

Для вычисления кинетической энергии подсчитаем работу, которую должна произвести результирующая сила F, чтобы тело массы m изменило скорость своего движения от V₁ до V₂.

dA = Fdr

(4)

– кинетическая энергия тела. Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной. Так как скорость относительная величина, то и кинетическая энергия тоже является относительной величиной.

Любую механическую систему можно представить как систему материальных точек, то кинетическая энергия механической системы может быть найдена как сумма кинетических энергий всех материальных точек, образующих эту систему: . Таким образом, кинетическая энергия механической системы является функцией состояния ее движения.

Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела, при изменении скорости его движения от V₁ до V₂: А = DЕ_К

Если действует ещё сила трения, то A_тр < 0 и кинетическая энергия тела будет уменьшаться.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия твердого тела конечных размеров равна сумме кинетических энергий элементов, на которые разбито тело. Рассмотрим частный случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия каждого элемента, движущегося с линейной скоростью:

V_i = ωr_i; J = mR²

равна:

Просуммировав по всем элементам, получим:

– момент инерции тела, относительно оси вращения.

(11)

Если твердое тело одновременно участвует в двух движениях: поступательном со скоростью и вращательном со скоростью , то

(12)

Полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии W_п поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращения W_в.

Если на систему материальных точек или тел действуют консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии этой системы.

Потенциальная энергия - э нергия, обусловленная взаимным расположением тел или частей одного и того же тела и характером их взаимодействия.

Потенциальная энергия системы тел (или тела) может быть определена, если указаны взаимное расположение тел в системе и силы, действующие между ними.

 

рис. 1.9

В процессе перемещения материальной точки на d r внешняя сила F совершит работу dA = F ·d r. При этом перемещении скорость тела не изменилась (была V = 0 и стала V = 0), значит в результате совершённой работы, произошло изменение другой (не кинетической) формы энергии, зависящей от координат положения тела, т.е. нужно говорить о потенциальной энергии.

Обозначим через dW_p – изменение потенциальной энергии при перемещении точки в силовом поле. Согласно определению работы, можно записать:

(5)

Работа, совершаемая силами F, действующими на материальную точку при её перемещении, равна изменению её потенциальной энергии.

Равенство (5) надо понимать алгебраически:

а) если dA > 0, то потенциальная энергия уменьшается (dW_p < 0).

б) если dA < 0, то потенциальная энергия возрастает (dW_p > 0).

Учитывая, что , имеем:

(6)

Это соотношение между силой и потенциальной энергией является одним из основных соотношений механики.

Выражение называется градиентом изменения потенциальной энергии на пути S.

Где - оператор Набла, который приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной величиной, на которую он символически умножается. Если оператор Набла символически умножить на скаляр, то получим вектор, который называется градиентом функции.

Из этого выражения (6) следует:

а) Сила направлена всегда в сторону уменьшения потенциальной энергии.

б) производная обращается в ноль в точках, где функция достигает максимума или минимума, а это значит – где потенциальная энергия имеет максимум или минимум, там сила равна нулю.

Уравнение (5) не даёт полного определения величины потенциальной энергии в каждой точке, а определяет лишь изменение потенциальной энергии при переходе от точки к точке. Абсолютная величина W_p зависит от выбора начала отсчёта потенциальной энергии (где потенциальная энергия равна нулю). Обычно, за начало отсчёта выбирают такое положение, при котором взаимодействие практически отсутствует (когда тела удалены в бесконечность).

Вычислим величину потенциальной энергии в двух случаях:

1. Потенциальная энергия тяготения.

dW_p = -Fdr

Откуда получим:

В частном случае, при r₁ = 0, (на поверхности Земли), r₂ = H, (над поверхностью Земли)

W_p = mgH

2. Потенциальная энергия упругодеформированного тела.

dA = Fdx = kxdx

Рис. 1.10

Покажем, что работа силы тяжести одинакова для двух разных путей (для пути 1 - 3 и пути 1 - 2 - 3), обозначения длин путей приведены на рис. 1.10.

Из последней формулы следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. А вдоль замкнутой траектории равна нулю, что подтверждает вывод о консервативной природе силы тяжести.

Полной механической энергией системы называют величину, равную сумме кинетической и потенциальной энергии этой системы:

W = W_k +W_p

Полная механическая энергия также является функцией состояния, как и каждое из слагаемых.