Построение разверток поверхностей геометрических тел

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную в результате последовательного совмещения с плоскостью чертежа всех граней многогранника.

Рассмотрим построение разверток некоторых простейших тел.

Начнем с наиболее характерного объема — куба (рис. 4). У куба все ребра и грани равны, боковая поверхность состоит из четырех равных квадратов, основания куба — два квадрата, тождественные квадратам боковой поверхности. Построим на листе развертку боковой поверхности и граней основания. Затем по металлической линейке делаем надрезы глубиной примерно на 1/3 листа ватмана или тонкого картона. Затем развертку вырезаем. Для того чтобы собрать полученную развертку при достаточной плотности бумаги, грани можно склеить встык друг с другом.

Рис. 4

Однако при недостаточном опыте в макетировании лучше использовать следующий прием. На развертке у каждой грани куба делают отвороты краев, т.е. откладывают от каждой стороны полоски шириной 3—5 мм. Затем делают с наружной стороны надрезы макетным ножом по металлической линейке по линиям сгиба ребер. После этого вырезают развертку вместе с отворотами, осторожно сгибают по ребрам и надрезанным отворотам, аккуратно смазывают отгибы клеем ПВА и прижимают их к противоположенным граням. При достаточной аккуратности выполнения и точности вычерчивания развертки макет получится качественным.

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней — прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная шестиугольная призма (рис. 5, а). Боковые грани призмы представляют собой равные между собой прямоугольники шириной а и высотой Н, а основания — правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как размеры граней известны, построение развертки нетрудно выполнить. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания а шестиугольника, т. е. 5а. Из полученных точек восстанавливают перпендикуляры длиной, равной высоте призмы Н. Соединяя полученные отрезки, проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н/6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуру оснований — два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной тонкой с двумя точками.

С помощью подобного построения можно вычертить развертки прямых призм с любой фигурой в основании. Разница будет лишь в количестве и ширине граней боковой поверхности.

Аналогично строится и развертка поверхности цилиндра (рис. 5, б). Только ширина ее равняется p d (длине окружности основания).

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней — равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 6, а). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как их ребра не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому начинают построение с определения величины ребра SA способом вращения (см. рис. 6, в). Определив длину наклонного ребра SA, равную s'a¢₁, проводят из произвольной точки s, как из центра, дугу окружности радиусом s'a¢₁. По этой дуге откладывают четыре отрезка, равных стороне основания пирамиды, которое на чертеже спроецировалось в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой s. Получив, таким образом, развертку боковой поверхности, пристраивают к основанию одного из треугольников квадрат, равный основанию пирамиды.

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 6, б).

Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, очерчивают радиусом R₁, равным образующей конуса s'a', дугу окружности. Затем подсчитывают угол сектора по формуле a = 360° × R/L, где R — радиус окружности основания конуса; L- длина образующей боковой поверхности конуса. В примере a = 360°× 15/38 = 142,2°.

Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.

Рис. 6. Построение разверток поверхностей пирамиды и конуса