Теорема невозможности Эрроу: этические нормы общественного выбора, формулировка теоремы, доказательство Эрроу. Смягчение постулатов теоремы.

Эрроу «Социальный выбор и индивидуальные ценности». Этические аксиомы, кот можно включать в общ. договор (конституцию):

Принцип единогласия (нет перераспределения сделок)
Отказ от диктатуры: ни один индивид не может занимать такое положение, при котором его предпочтение по поводу 2 вариантов всегда побеждало противоположные предпочтения всех других индивидов.
Транзитивность: транзитивные, непротиворечивые предпочтения. Выбор должен быть сделан, он должен быть конечен.
Неограниченная сфера охвата.
Независимость от других выборов (общественный выбор из 2 альтернатив должен зависеть только от порядков предпочтения индивидуумом этих двух альтернатив, а не от каких-то других предпочтений по поводу других альтернатив).

Вывод Эрроу: при этих аксиомах ни один процесс принятия политических решений не может реализовываться, может возникнуть господствующая группа. Доказательство: принимается неограниченная сфера предпочтений => может возникнуть любая комбинация предпочтений => пусть отсутствует альтернатива, кот. удовлетворяет всех => зацикливание, что противоречит аксиоме транзитивности.

Решение: смягчение некоторых аксиом (кроме первых трех), т.е. четвертую и пятую.

Ограничение предпочтений индивид. с помощью конституции – не все права будут удовлетворяться.
Ограничение состава сообщества людьми, которые позволят избежать зацикливания, т.е. однородность. Теория клубов (по интересам): организовать сообщества и там принимать политические решения (напр., на уровне муниципальных образований). Гос-во работает неэффективно, неэффективно распределяет общ. блага.
Отказ от пятой предпосылки, где Эрроу использовал ординалистские полезности, и переход к кардиналистскому подходу с межличностному сравнению полезности в ден. единицах. Кардиналистский подход: кто-то (чиновники) должен провести межличностное сравнение полезности, это допускает произвол; к тому же несправедливость в распределении доходов.

Игорь ПЕРЕВЕРЗЕВ

№07 (4786)

Февраль 2003

Источник - Огонек

Постоянный адрес статьи - http://www.centrasia.ru/newsA.php?st=1046319960

В 1972 году Нобелевскую премию по экономике присудили американскому математику Кеннету Эрроу за исследование «Социальный выбор и индивидуальные ценности». Под таким скромным названием в наш мир вошло сенсационное открытие, положившее конец мечтам об идеальной демократии.

Выделив пять непременных условий демократических выборов, как механизма выявления воли большинства избирателей, Эрроу доказал: в принципе невозможна избирательная система, в которой не нарушалось бы, по крайней мере, одно из этих условий! Причем, дефекты присущи не какому-то конкретному механизму выборов, а любому из них, принципиально.

Это открытие произвело впечатление разорвавшейся бомбы. «Оказывается, лучшие умы человечества занимаются поисками химеры, зиждущейся на внутреннем логическом противоречии исходных принципов, - писал один из тогдашних обозревателей, - Теперь учёные во всем мире пытаются спасти то, что может быть спасено от разрушительного открытия Эрроу, занявшего в математической политологии такое же место, какое занимает в математической логике открытая Куртом Гёделем в 1931 году теорема о невозможности построения непротиворечивой математической теории, содержащей аксиомы арифметики...».

Справедливости ради заметим: американец сделал своё открытие не на пустом месте. С дефектами демократической системы выявления воли большинства путём подсчёта голосов столкнулся в XVIII веке маркиз Кондорсе (1743-1794 гг.), философ, математик и политический деятель, казнённый во время Французской революции.

В конце Века просвещения, когда французские аристократы усердно экспериментировали с азартными играми, рождая при этом теорию вероятностей, Кондорсе описал эффект, носящий его имя и позволяющий меньшинству на вполне демократических выборах навязать свою волю большинству, проведя либо непопулярного кандидата, либо непопулярное решение.

Эффект Кондорсе основан на том, что непопулярные вещи у разных избирателей непопулярны по-разному, и математически описывается как парадокс нетранзитивности.

Проясним сущность этого парадокса на примере ситуации, которая может сложиться в результате выборов.

В Государственной думе после выборов сформировались три равномощных центра силы, это - языком бессмертного "Капитала" - буржуа, пролетарии и деклассированные.

И вот собираются свежеизбранные нардепы на свое первое заседание и принимаются решать оргвопрос. В итоге, как мы видели в прямом эфире, демократическая эта процедура заканчивается конфузом, так как ни одна из названных третей не поладила с двумя остальными.

Теперь допустим, что решили думцы исправить нехорошую ситуацию и собираются снова все вместе на специальное закрытое заседание по достижению примирения и согласия. Поскольку вопрос архиважный, голосование по нему им надо провести квалифицированным большинством (с перевесом в 2/3), а поскольку вопрос к тому же еще и архисрочный, то все решения по нему надо принять в течение заседания. В этих-то условиях теоретически как раз и оказывается возможной ситуация, описанная просвещенным маркизом еще в 1785 году.

Вначале нардепы дружно голосуют за обязательное исполнение всех своих решений. Далее переходят к дележке постов, и, ясное дело, страсти накаляются. Выступает, положим, известный своим темпераментом г-н Ж. и вносит такое предложение: за многочисленные злодеяния посадить в тюрьму всех представителей пролетариата в Думе, а "золото партии" и все прочее у них отнять и поделить в интересах народа, начав с улучшения материального положения народных избранников. Предложение логичное, и оно, естественно, проходит двумя третями голосов, составляемыми буржуа и деклассированными.

В ответном выступлении вождь пролетарских масс предлагает посадить, наконец, в тюрьму за хулиганские выходки г-на Ж., а заодно и всех прочих деклассированных - в силу очевидной исторической бесперспективности их движения. Нажитые указанными господами в результате политических махинаций богатства экспроприировать в интересах народа и его избранников (отнять и поделить, см. выше). Понятно, что и это предложение тоже проходит под бурные, продолжительные аплодисменты 2/3 депутатского корпуса, составляемых на этот раз временным тактическим союзом буржуа и пролетариев.

Далее снова голосование все по той же самой схеме: посадить, отнять и поделить, но уже по отношению к представителям капитала голосами пролетариев и деклассированных. В том же голосовании проходит предложение о некотором улучшении условий содержания осужденных и увеличении им количества передач и свиданий. К обеденному перерыву новая Государственная дума уже может быть в полном составе приговорена к длительным срокам тюремного заключения и готова к отбытию в места исполнения наказания.

Такая гипотетическая ситуация называется циклом Кондорсе (Condorcet cycling) и, как легко заметить, вовсе не зависит от степени совершенства технологических процедур.

Современник маркиза Кондорсе шевалье Жан Шарль де Борда (1733-1799) ещё во времена Великой французской революции выяснил, что никакого универсального способа выявления коллективных предпочтений нет и не может быть в принципе. Можно привести множество разумных правил голосования (правила абсолютного и относительного большинства, правило отсеивания наихудших, правило Борда и т. д.), но их результаты могут быть прямо противоположными: победитель по одному из правил может оказаться худшим по другому. Вероятно, именно в этом кроется одна из причин всегдашнего недовольства избирателей результатами любых голосований: дело в том, что, проголосовав по одной системе, люди зачастую оценивают результат, исходя из других, более выгодных для них принципов. Из исследований Ж.-Ш. Борда следует, что в процессах коллективного выбора его участники могут добиваться лучших для себя исходов, сообщая другим участникам лишь выгодную для себя информацию о своих предпочтениях. В этой связи возникала проблема построения неманипулируемого механизма выбора, который бы делал дезинформацию невыгодной участникам. Однако в 1973 году Жиббaрд доказал, что универсальных неманипулируемых и недиктаторских механизмов не существует.

Веком позже этот эффект переоткрыл специалист по математической логике преподобный Чарльз Доджсон (он же Льюис Кэрролл, автор "Алисы в стране чудес") и описал в язвительных памфлетах о выборах, и не где-нибудь на местечковой живодерне, но в самом Оксфордском университете.

В 1940-х годах подобным же наблюдением озадачил политиков английский экономист Л. Блэк, исследовавший эффективность принятия решений во всякого рода комитетах.

Эффект Кондорсе

Многие прикладные разработки маркиза Кондорсе, в частности «Эффект Кондорсе», актуальны и в наши дни.

Несомненно, прикладная часть научной деятельности Кондорсе представляет наибольший интерес для современных социологов, так как влияние прикладной социологии на решение социальных, экономических и политических вопросов неоспоримо.

Кондорсе уже в то время предугадывал широкое применение математических методов в социальных науках. Действительно, на данный момент при анализе эмпирических данных применяется огромное множество разнообразных математических методов, формальных процедур, эффективность применения которых подтверждена практикой решения многих прикладных задач в разных областях человеческой деятельности.

В процессе изучения различных методов голосования маркизом был открыт феномен, который в последствии был назван его именем. В анализе известного “эффекта Кондорсе” мы видим возникновение совершенно новых методов изучения социальных феноменов для того времени, которые остаются актуальными и в настоящий момент.

Эффект Кондорсе проявился в его исследованиях относительно форм выборов. Он выделяет два типа влияний на результат голосования:

Возникающие вследствие горизонтальных связей. “Преобладающая персона” (“лидер мнения” у Лазарсфельда), тот, к кому вследствие его статуса прислушиваются окружающие его люди, ориентирует голоса других индивидов.
Влияния, возникающие вследствие вертикальных связей. Голосование, по мнению Кондорсе, не изолировано от другого голосования. Предыдущее голосование налагает свой отпечаток на результаты проходящего голосования. Голоса взаимосвязаны один с другим.

При этом он делает вывод о том, что наиболее простым и не вызывающим сомнений является бинарный выбор (из двух кандидатов). Когда индивидуум должен ответить “да” или “нет”¹, выбор ясен: программа кандидата А получила 52%, программа В — 48%, следовательно, выигрывает голосование А. Гораздо более сложным является случай, когда необходимо сделать свой выбор среди трех и более кандидатов², расставив приоритеты в иерархическом порядке. Рассмотрим более подробно этот феномен, который описан в книге Кондорсе “О выборах”.

Необходимо расставить трех кандидатов А, В и С в порядке предпочтения их программ. Например, в выборе принимает участие электорат в 60 человек. Допустим, что голоса распределились следующим образом:

Предпочтения кандидатам:	АВС	ВСА	САВ	АСВ	СВА	ВАС
Количество голосов:

Кандидат А выигрывает, так как комбинация АВС получает наибольшее количество голосов — 20. Однако большая часть электората голосует не в пользу первенства А (18+1+15+5=39), и даже, более того, ставит его программу на последнее место в комбинациях (18+15=33)!

Если сделать разделение кандидатов на пары, то получится следующая картина:

Предпочтения кандидатам:	Количество голосов:
A>B
B>A		B>A
B>C
C>B		B>C
A>C
C>A		C>A

Таким образом, получается следующий итог: B>C>A. Следовательно, мы имеем комбинацию ВСА и побеждает кандидат В.

Однако Кондорсе находит и в этом решении новую сложность. Проведем аналогичное голосование с другим электоратом, количество которого также 60 человек. Получаем картину в целом аналогичную первому случаю, но распределение голосов несколько иное:

Предпочтения кандидатам:	АВС	ВСА	САВ	АСВ	СВА	ВАС
Количество голосов:

Сделаем вновь разделение кандидатов на пары. Получится следующая картина:

Предпочтения кандидатам:	Количество голосов:
A>B
B>A		A>B
B>C
C>B		B>C
A>C
C>A		C>A!

В итоге имеем: B<A<C, но при этом A<C<B и C<B<A. Победителя невозможно определить! Ни один из кандидатов не является безусловно предпочитаемым перед другими двумя.

Таким образом эффект Кондорсе выражается следующим образом. Электорат может сформировать противоречивый коллективный ответ, на основе индивидуальных связных ответов. Иными словами, если рассматривать электорат как некий усредненный тип человека, то этот ”средний человек” склонен к принятию противоречивых решений³.

Эффект Кондорсе проявляется и при принятии мажоритарных решений двумя третями голосов. Рассмотрим модель парламента поделенного поровну между тремя фракциями. Назовем их условно “Либералы” — Л, “Коммунисты” — К, “Социалисты”— С. Если К поддерживают решения предлагаемые Л, но не С, Л — С, но не К, а С — К, но не Л, то вновь нарушается свойство транзитивности: К>Л, Л>С, но С>К.

Исследователь творчества Кондорсе К. Эрроу вывел следующую теорему: “Демократия не создает удовлетворительных условий для того, чтобы избежать проявления эффекта Кондорсе” [Arrow K. Preferences individuelles et choix collectifs. Paris, 1951. Р.192].

Открытие эффекта Кондорсе является безусловно значимым и сегодня, хотя бы потому, что знание о нем необходимо как для социолога, так и для простого человека в наше время. Так, можно увидеть использование этого метода на бирже, при оценке стоимости предприятий, при исследовании рынка стоимости ценных бумаг, при принятии разнообразных экономических решений и т.д.

Но кажется наиболее важным знание эффекта Кондорсе в политике, так как эффект Кондорсе может быть использован при определенных условиях как средство для недобросовестного достижения политических целей.

Рейтинги кандидатов, например, составляется именно методом попарных сравнений, где не исключено проявление нарушения транзитивности. И даже если это только статистические данные социологического опроса, нельзя забывать о косвенном влиянии таких сведений на решение избирателей в будущих выборах.

Таким образом, знание об эффекте Кондорсе должно помочь оградить общество от невежественных политических и экономических решений.

1 Поскольку всегда есть три выбора: "за", "против", "воздержался", бинарной системы в принципе не существует.

2 Например, традиционные "правые", левые", "центр".

3 Симптом шизофрении.

Справка о теореме невозможности Эрроу (Кеннет Джозеф)

Наибольшую известность принесла Эрроу (нобелевский лауреат 1972 г.) его первая книга «Социальный выбор и индивидуальные ценности» (Social Choise and Individual Values), опубликованная в 1952 году. В ее основу была положена его докторская диссертация. Опираясь на предшествующие работы в этой области П. Самуэльсона и экономиста из Гарварда А. Бергсона, Эрроу пытался сформулировать условия, при которых из индивидуальных предпочтений рациональным или демократическим путем могут быть выведены групповые решения.

Эрроу пришел к выводу, «что социальная функция выбора, выражающая связь между индивидуальными предпочтениями и социальным выбором, должна отвечать четырем требованиям: переходности (если социальный выбор А предпочтительней, чем выбор Б, а выбор Б - чем выбор С, то выбор А предпочтительней, чем выбор С); эффективности по Парето (альтернативное решение не может быть выбрано, если при этом существует другая реализуемая альтернатива, улучшающая жизнь некоторых членов общества и не ухудшающая ничьих условий жизни); отсутствию диктатуры, навязывающей свои предпочтения всему обществу; независимости посторонних альтернатив (выбор между А и Б остается неизменным, если вводится третий, логически допустимый, но неосуществимый вариант С)». Эрроу показал, что все четыре условия внутренне противоречивы и противоречат также друг другу, откуда следовало, что ни одна социальная функция выбора не может соответствовать всем требованиям одновременно. Подробнее об этом написано ниже.