Применение законов динамики для анализа движений спортсменов

 

Разберем некоторые примеры, показывающие, каким образом законы динамики применяются -для анализа сложных движений и вычисления сил, нагружающих суставы, сухожилия и мышцы.

На рис. 8.8. показан стартующий бегун. На него действуют сила тяжести mg и реакция опоры R, сообщающие центру масс бегуна ускорение а.

Рис. 8.8. Силы, действующие на тело спринтера при отталкивании во время старта

 

Воспользуемся неинерциальной системой отсчета, связанной с центром масс. В этой системе центр масс покоится. Согласно принципу Д^,Аламбера к реальным силам следует добавить фиктивную силу инерции F_И = -т·а и записать условие покоя:

 

В проекциях на координатные оси это равенство запишется в виде системы двух уравнений:

 

 

 

где R_x, R_y — составляющие реакции опоры; а_y и а_х — вертикальная и горизонтальная составляющие ускорения центра масс в момент старта.

Эти уравнения можно использовать для решения двух задач:

• зная силы, действующие на тело, описать движение центра масс;

• зная ускорение тела (используя различные способы регистрации, например, киносъемку), определить вызвавшие его силы.

Вычислим силу тяги мышц f_m, нагружающих ахиллово сухожилие при старте бегуна. На рис. 8.9 показаны стопа и действующие на нее силы.

Это реакция опоры R, сила тяжести m_cT· g, сила тяги мышц F _m и сила, нагружающая голеностопный сустав, F. Кроме того, на стопу действуют силы пассивного сопротивления, связанные с деформацией соединительных тканей и с силой трения в суставе.

 

Рис. 8.9. Силы, действующие на стопу спортсмена при отталкивании

 

Обозначим ускорение голеностопного сустава а_ст и воспользуемся связанной с ним неинерциальной системой отсчета. В этой системе сустав неподвижен, а стопа вращается вокруг него с некоторым угловым ускорением ε. Согласно принципу Д'Аламбера к реальным силам следует добавить фиктивную силу инерции F _и = — т· а_ст и записать условие вращения:

 

где m _ст, I _ст — масса и момент инерции стопы (относительно голеностопного сустава); М_c, — момент сил пассивного сопротивления; М_м — момент силы тяги мышц (F _м ), нагружающих ахиллово сухожилие; h_х, h_у, h_1, h₂ — плечи сил.

Проанализируем левую часть этого уравнения. Сила тяжести (m_ст·g) и сила инерции (m_ста_ст), действующие на стопу, малы по сравнению с силами реакции опоры (R_x и R_y), а их плечи (h₂ и h₂) меньше плеч сил реакции опоры (h_x и h_y). Поэтому моментами этих сил (— m_n · g · h₂ и m_n · a_ст · h₁) можно пренебречь. Момент сил пассивного сопротивления в суставе С/И.) также незначителен по сравнению с моментами сил реакции опоры.

Правую часть уравнения можно принять равной нулю, поскольку согласно расчетам и измерениям, произведение момента инерции стопы^; на ее угловое ускорение (I_ст·ε_ст) мало по сравнению с основными слагаемыми левой части. Поэтому уравнение (8.10) упрощается:

Отсюда получаем соотношение для момента силы тяги мышц:

 

Момент силы тяги мышц равен произведению силы на плечо:

а составляющие реакции опоры определяются системой (8.9):

Подставив эти выражения в (8.11), получим:

Отсюда находим формулу для расчета приближенного значения силы тяги мышц, нагружающих ахиллово сухожилие:

Вычислим ориентировочное значение этой силы. Для взрослого человека можно принять т = 70 кг, h_y =12 см, h_x =10 см, h ₃ = 6 см. Измеренные значения составляющих ускорения центра масс равны а 1,5g, a g. Подставив эти значения в (8.12) получим:

Полученное значение близко к максимально допустимой нагрузке для ахиллова сухожилия, которая составляет примерно 5000 Н.

Проведя аналогичные расчеты, можно получить значение для силы F, которой нагружен голеностопный сустав. В данном случае получается значение близкое 3·mg.

Глава 9 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ