Побудова лінії перетину поверхонь геометричних тіл

Умова. Побудувати проекції лінії перетину поверхонь двох тіл (рис. 21. табл. 7)

 

Таблиця 7

Діаметр
d1
d2

 

 

Примітка: d₁. d₂ діаметр або основи, або екваторіального січення заданих тіл.

Через тіла, що перетинаються, проводять допоміжні, січні поверхні (звичайно площини чи сфери). Варто прагнути до того, щоб допоміжні поверхні перетинали поверхні тіл, що перетинаються, по простих лініях - прямим або окружностям. На рис.21 через тіла А і В. що перетинаються, проведена допоміжна площина Q. Ця площина перетинає поверхню тіла А по кривій І, а тіла В - по кривій П.

Очевидно, що точки М і N взаємного перетину кривих І і П належать, одночасно поверхням обох тіл. тобто лежать на лінії перетину поверхонь цих тіл.

Проводячи нові січні площини, можна одержати допоміжні точки лінії перетину (у кількості, яка необхідна для побудови цієї лінії).

Приклад 1. Побудувати лінію перетину конуса і циліндра (рис. 22).

Проводимо систему допоміжних горизонтальних січних площин Q₁, .Q₂ що перетинають конус по окружностях, площини яких рівнобіжні площині П₁, і проектуються на неї в натуральну величину.

Площини Q₁, .Q₂ перетинають бічну поверхню циліндра по двом прямолінійним твірним, паралельним площині П₁. Наприклад, площина Q₄ перетинає бічну поверхню циліндра по двох твірних 44' і 44, Точки перетину горизонтальної проекції твірної 44 з горизонтальною проекцією окружності радіуса ОА, по якій площина Q₄ перетинає конус, є горизонтальними проекціями точок, що належать одночасно поверхням конуса і циліндра, тобто точок лінії перетину поверхонь двох цих тіл (точки 4, і 4₁' на рис. 22).

Твірна циліндра 44 не перетинає поверхню конуса, і на ній відсутні точки, загальні для поверхонь заданих тіл.

Слід зазначити, що площини Q і Q₁₂ не перетинають циліндр, лише дотикаються до його по крайнім відповідно верхній і нижній твірним.

Одержавши достатню кількість горизонтальних проекцій точок, загальних для поверхонь конуса і циліндра, і з'єднавши їх плавною лінією, визначимо горизонтальну проекцію лінії перетину.

Оскільки бічна поверхня циліндра є фронтально-проектуючою, фронтальна проекція лінії пережну збігається з окружністю у яку проектується бічна поверхня циліндра.

Фронтальні проекції точок 1 і 9, у яких права нарисова твірна конуса перетинає поверхню циліндра, отримуємо безпосередньо (на кресленні). Горизонтальні проекції цих точок одержуємо за допомогою ліній зв'язку, проведених із точок 1₂ і 9₂ до перетину з горизонтальною проекцією правої нарисової твірної.

Приклад 2. Побудувати проекції ліній перетину поверхонь усіченого конуса і циліндра (рис. 23).

У деяких випадках, наприклад, коли тіла, що перетинаються, мають осі симетрії, рівнобіжні однієї з площин проекцій (і ці осі перетинаються між собою), у якості допоміжних січних поверхонь зручно приймати концентричні сфери з центром у точці перетину осей симетрії.

Розглянемо сферичну поверхню (сферу І радіусом ОА), лінії перетину якої з конусом і циліндром являють собою окружності, площини яких перпендикулярні до площини П₂. Тому вони проектуються на площину П₂ у вигляді відрізків прямих (відрізки відповідно А₂В₂ і С₂D₂) Точки перетину зазначених окружностей між собою (2 точки) належать водночас поверхням: конуса і циліндра, тобто лежать на лінії перетину цих поверхонь. Точки перетину проекцій даних окружностей с проекціями їхніх точок перетину. Тому на рис.24 точки перетину відрізків А₂В₂ і С₂D₂ (точка К₂) визначає фронтальні проекції точок перетину цих окружностей (окружності перетинаються в двох точках К; проекції яких на площин П₁ збігаються).

Для визначення горизонтальних проекцій точок К в даному випадку варто побудувати горизонтальну проекцію тієї окружності, по якій сфера, що розглядається, перетинає конус. Ця окружність паралельна площині П₁ і проектується на неї в натуральну величину, тобто в окружність діаметра АВ=А²В².

Горизонтальні проекції точок К лежать на цій окружності і визначаються за допомого ліній зв'язку (див. рис 24). Отже, побудовані точки належать шуканій лінії перетік поверхонь конуса і циліндра. Нові точки цієї лінії (у кількості, необхідній для її побудові можна одержати аналогічно за допомогою інших допоміжних сферичних поверхонь.

Побудову зручно починати зі сфери найменшого придатного для побудови радіуса О₂G₂, перпендикулярного до твірної конуса. Сфера цього радіуса торкається поверхні конуса по окружності, не перетинаючи його. Потім, будують інші сферичні поверхні, збільшуючи радіус.

На фронтальній проекції верхня Е і нижня С точки проекції лінії перетину одержують безпосередньо як точки перегину проекцій нарисових твірних циліндра з нарисовою твірною конуса.

Горизонтальні проекції цих точок одержують по лініях зв'язку. Тому що розглядаємі пересічні тіла мають фронтальну площину симетрії, фронтальні проекції видимої і невидимої (лежачої за цією площиною) частин лінії перетину збігаються.

При проектуванні на площину П₁ невидимою є частина лінії перетину, що знаходиться нижче фронтально-проектуючої площини, що проходить через вісь циліндра.

 

Контрольні питання

 

1) Складіть план рішення розглянутої задачі.

2) Яким умовам повинні задовольняти допоміжні січні поверхні?

3) Як визначають проекції характерних точок побудованої лінії перетину?

Рис. 21

 

Рис. 22

 

 

 

Рис. 23

 

 

Рис. 24

Завдання №13