Для разложения в ряд Тейлора

· taylor (f) – возвращает шесть членов ряда Маклорена функции f;

· taylor (f, n, x, a) – возвращает n членов ряда Тейлора в точке х = а;

· taylor (f, n) – возвращает (n - 1) членов ряда Маклорена функции f;

· taylor (f, a) – возвращает шесть членов ряда Тейлора функции f в точке а.

 

>>x = sym('x'); >>taylor(sin(x)) ans = x – 1/6*x^3 + 1/120*x^5 >>taylor(int(sin(x)) ans = - 1 +1/2*x^2 – 1/24*x^4 >>

 

Разложение на множители

Для разложения выражения на простые множители используется функция factor(S). Эта функция поэлементно разлагает выражения вектора S на простые множители, а целые числа - на произведение простых чи­сел. Следующие примеры иллюстрируют применение функции:

>> x=sym('х'); >>factor(x^7-l) ans = (х – 1)*(х^6 + х^5 + х^4 + х^3 + х^2 + х + 1) >>factor(х^2 – х - 1) ans = хА2 – х - 1 >>factor(sym('123456789')) ans = (3)^2*(3803)*(3607) >>

8. Комплектование по степеням – collect()

Функция co11ect(S,v) обеспечивает комплектование выражений в со­ставе вектора или матрицы S по степеням переменной v.

9. Упрощение выражений – simple()

Функция simple(S) выполняет различные упрощения для элементов массива S и выводит как промежуточные результаты, так и самый ко­роткий конечный результат. В другой форме — [R, HOW] = simple(S) – промежуточные результаты не выводятся.

 

 

10. Приведение к рациональной форме – numden

Функция [N,D] = numden(A) преобразует каждый элемент массива А в рациональную форму в виде отношения двух неприводимых полиномов с целочисленными коэффициентами. При этом N и D — числители и знаменатели каждого преобразованного элемента массива.

>> [n,d] = numden(sym(8/10)) n = d = >> syms x y >> [ n, d ] = numden (x*y + y / x) n = y*(x^2 + 1) d = x >>

Вычисление сумм рядов и произведений

Функция вычисления суммы рядов – symsum

Для аналитического вычисления суммы ряда служит команда symsum:

· symsum(S) - возвращает символьное значение суммы бесконечно­го ряда по переменной, найденной автоматически с помощью функ­ции findsym;

· symsum(S, v) - возвращает сумму бесконечного ряда по переменной v;

· symsum(S, a, b) и symsum(S, v, a, b) - возвращают конечную сумму ря­да в пределах номеров слагаемых от а до b.

 

Пример 3.3-1.

Пример 3.3-1.

>> x = sym(‘x’); >> symsum(x^2) ans = 1/3*x^3-1/2*x^2+1/6*x >>symsum([x, x^2, x^3], 1, 5) ans = [ 15, 55, 225] >>

 

Вычисление пределов

Напомним, что число L называется пределом функции f(x) в точке а, если при х, стремящимся к а (или х → а), значение функции неограниченно приближается к L. Это обозначается следующим образом: lim f(x) = L.

Предел может быть конечным числом, положительной или отрицательной бесконечностью.

Если функции (например, разрывные в точке x=a), у которых нет предела в самой точке x=a, но есть предел при x → a – 0 или при x→ a + 0, где под 0 подразумевается очень малое число. В первом случае говорят о существовании предела слева от точки x=a, а во втором – справа от этой точки. Если эти пределы равны, то существует предел функции в точке x=a.

Для вычисления пределов аналитически заданной функции f(x) служит функция limit(), котораяможет записываться в нескольких вариантах:

· limit(f, x, a) – возвращает предел символьного выражения f в точке х → а;

· limit(f, a) – возвращает предел для независимой переменной, определяемой findsym();

· limit(f) - возвращает предел при a=0;

· limit(f, x, a, `right`) или limit(f, x, a, `left`) – возвращает предел в точке а справа или слева.

 

Пример 3.3-2.

Пример 3.3-2.

>> syms a x >> limit(sin(a*x)/(a*x)) ans = >> limit(sin(a*x)/x) ans = a >> limit(2*sin(x)/x) ans = >> limit(2+sin(x)/x,0) ans = >> limit(tan(x),pi) ans = >> limit(tan(x),pi/2) ans = NaN >> limit(tan(x),x,pi/2,'right') ans = -Inf >> limit(tan(x),x,pi/2,'left') ans = Inf >>

Пример 3.3-3. Доказать непрерывность функции в точке y=x² в точке x=2.

Для доказательства непрерывности необходимо вычислить предел и значение функции в этой точке.

Пример 3.3-3

>> sym x; >> f=sym('x^3'); >> limit(f,x,2,'left') ans = >>