И показателем, равным нулю.

Степень с натуральным показателем

Вы уже знаете, что на математическом языке запись вида
a + a + a + a,
можно сделать более коротким способом:

a + a + a + a = 4a.

Для произведения одинаковых множителей,
так же существует короткая запись:

x • x • x • x • x = x

y • y • y = y

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

aⁿ =

В выражении aⁿ:

- число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

- число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например:
2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32,
здесь:
2 – основание степени,
5 – показатель степени,
32 – значение степени

· Отметим, что основание степени с натуральным показателем может быть любым числом.

· Ноль в любой натуральной степени равен нулю. 0ⁿ= 0

· Единица в любой степени равна 1, 1ⁿ= 1

· Степенью числа с показателем 1 называют само это число: .

· Степень не нулевого числа а с показателем 0 равна 1, , где а 0

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Обратите внимание, если в основании степени отрицательное число,
то при четном показателе степени результат положительный

(–2) = (-2)*(-2)= 4, (–3) = 81,

а при нечетном показателе степени результат отрицательный
(–2) = (-2)*(-2)*(-2)=– 8, (–3) = – 27.
Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)⁴и −5⁴это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти −5⁴означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
5⁴= 5 · 5 · 5 · 5 = 625

2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−5⁴= −625

–2 = – (2*2)=- 4, (–2) = 4.

9 ––2 = 9- (2*2)= 5, -9 +(–2) = -(9*9)+ (-2)*(-2)=-81+4=-77.

Возведение дробей и смешанных чисел в степень,
подчинено правилам их перемножения.

1-ое свойство При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным. если a — любое число, а n и m — натуральные числа то: Рассмотрим простой пример. ,

2-ое свойство При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным. если a ≠ 0, а n и k — натуральные числа n > k (показатель степени больше в числителе), то: (показатель степени больше в знаменателе), то n=k (показатели степеней равны в числителе и знаменателе), то

Рассмотрим пример. , показатель степени больше в числителе , показатель степени больше в знаменателе , показатели степеней равны в числителе и знаменателе

3-е свойство При возведении степени в степень показатели перемножаются. если a — любое число, а n и k — натуральные числа то: Рассмотрим пример.

Е свойство

При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножить.