Функция, непрерывная в точке

Пусть функция задана на множестве и . Если , то говорят, что эта функция непрерывна в точке . Функция, непрерывная в каждой точке множества , называется непрерывной на множестве . График непрерывной функции представляет собой непрерывную кривую. Все известные из школьного математического курса функции непрерывны в областях, где они заданы: многочлены, , при , , , при , при .

Пример разрывной функции – функция

 

 

Графиком непрерывной на области D функции двух переменных является непрерывная поверхность. В качестве примера приведем функцию .

Частным случаем непрерывной в точке функции является дифференцируемая в этой точке функция. Такие функции еще называют «гладкими»: к графику дифференцируемой в точке функции можно провести касательную.

 

 

В случае дифференцируемости функции в точке можно вычислить производную в такой точке по формуле

.

 

Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках которых провести касательную невозможно.

Напомним, что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной к кривой в точке .

 

Из школьного курса вам известна таблица производных. Она приводится ниже.

Таблица производных

, если постоянная

 

 

X

Y

0

Определение 1. Функция в точке имеет максимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

X

Y

0

Определение 2. Функция в точке имеет минимум, если для всех x из некоторой -окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции одной переменной: необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке функции является .

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, называются критическими точками. Критические точки функции не обязательно являются точками экстремума. Например, если , то при , но точка не является точкой экстремума, что видно из рисунка.

 

Теорема о достаточном условии существования максимума и минимума функции.

+ max -

- min +

Если производная функции при переходе через точку меняет знак с + на –, это точка максимума. Если знак производной меняется с – на +, имеем точку минимума. Доказательство следует из теоремы о возрастании (убывании) функции.

 

В случае, когда дифференцируемой в точке является функция двух переменных , она обладает в этой точке производными и по переменной x, и по переменной y. Такие производные называются частными производными. График такой функции в этой точке (поверхность) является гладким, то есть к поверхности в точке можно провести касательную плоскость.

 

Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции двух переменных: необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке (a,b) функции является равенство нулю обеих частных производных этой функции: . .

Последнее условие является основой для следующего важного метода.