Классификация методов математического моделирования применительно к этапу построения математической модели

В современной науке существуют два основных подхода к построению математических моделей систем. Первый из них – это широко распространенный классический подход, который базируется на раскрытии явлений, происходящих внутри рассматриваемой системы.

Построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения массы, энергии, кинетического момента и т. д.) для описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим или электрическим. Из этих законов следуют различные соотношения между рассматриваемыми переменными и, в частности, связывающие их ОДУ, ДУЧП, разностные уравнения.

Базой данного подхода к построению математической модели являются дисциплины, относящиеся к соответствующим предметным областям: теоретическая механика при построении моделей механических объектов, электротехника – при построении моделей электрических цепей и т. д.

Второй подход, характерный для методологии кибернетики и получивший развитие в трудах ее основоположников, базируется на рассмотрении системы как некоторого объекта, у которого доступными для наблюдения являются только входные и выходные переменные. Данный подход часто называют кибернетическим моделированием, он сводит изучение системы к наблюдению ее реакций при известных воздействиях, поступающих на вход системы. Модель системы строится при этом как описание некоторого преобразователя вектора входных переменных в вектор выходных переменных. Такая кибернетическая модель сохраняет только подобие векторов входных и выходных переменных оригинала и модели, полностью игнорируя физический смысл и внутреннюю структуру объекта.

Следует отметить, что анализ методов моделирования с точки зрения построения модели может описываться в различных терминах. Выделение классического и кибернетического подходов лишь один из вариантов. Иначе можно говорить о теоретических и экспериментальных моделях. Наиболее же информативным представляется подход к получению модели с позиций «черного» и «белого» ящиков. Его достоинство в том, что он позволяет естественным образом ввести понятие «серого» ящика. Действительно, в реальных условиях редко бывает, что об объекте ничего не известно, кроме реакций, или что об объекте известно всё. Обычно объект представляет собой «серый» ящик той или иной степени «серости». Эта серость определяется информацией об объекте, которой владеет исследователь. Может быть известна, например, структура объекта (модели), ориентировочный порядок модели, математическая схема, которую следует применять, линейность и т. д.

Соответственно, разная степень «серости» выливается в разные методы кибернетического моделирования. Основой кибернетического моделирования являются такие разделы математической теории систем, как методы идентификации объектов и методы реализации временных рядов.

Цель решения задач идентификации заключается в построении по входным и выходным сигналам изучаемой системы эквивалентной ей системы из заданного класса. Эквивалентность обычно понимается в смысле какого-либо критерия ошибки или функции потерь, являющейся функционалом от выхода объекта Y (t) и выхода модели Y_m (t), например:

Говорят, что модели эквивалентны, если значения функций потерь для этих моделей одинаковы.

Идентификация предполагает как использование априорной информации, так и обработку данных измерений, полученных в результате экспериментов с системой. Такой подход соответствует рассмотрению системы как «серого» ящика.

Обычно идентификация – многоэтапная процедура, состоящая из следующих основных шагов:

1) структурная идентификация, которая заключается в определении структуры математической модели на основе теоретических соображений,

2) параметрическая идентификация, включающая в себя проведение идентифицирующего эксперимента и определение оценок параметров модели по экспериментальным данным,

3) проверка адекватности – проверка качества модели в смысле выбранного критерия близости выходов модели и объекта.

В большинстве технических задач априорные знания об объекте позволяют получить информацию о структуре модели. В результате задача идентификации сводится к задаче оценивания параметров и/или состояний. В связи с тем, что реальные системы всегда зашумлены, идентификация относится к задачам приближенного моделирования.

Следует иметь в виду, что кибернетические модели не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и/или измерять. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области пространства переменных, в которой осуществлялось их варьирование. Поэтому кибернетические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих в технической системе.

Важно отметить также, что два указанных способа получения математических моделей – классический метод и метод кибернетического моделирования, – конечно же, не являются взаимоисключающими.

Во-первых, они используют различную исходную информацию и, соответственно, природа ошибок и неточностей в моделях разная. В случае построения моделей на основе изучения «физической реальности» это неопределенность описания среды и неполнота физической модели объекта. В случае кибернетического моделирования основной источник неточностей – зашумленность реальных систем. Соответственно, исходная информация уже искажена помехами.

Во-вторых, при моделировании сложных систем для различных элементов этих систем могут использоваться разные методы получения математических моделей.

Контрольные вопросы

1. Что такое классический подход к ММ?

2. Что такое кибернетическое моделирование?

3. Что такое идентификация?