Матричный метод решения СЛАУ

Систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными и определителем основной матрицы А системы, отличным от нуля, можно решать с помощью обратной матрицы.

Пусть дана система уравнений (6.3), основная матрица А которой невырожденная. Система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:

,

где - матрица, обратная к А.

Пример. Решить систему предыдущего пункта матричным методом.

Решение. Данная система в матричной форме имеет вид , где , , . Ее решение .

1) Находим обратную матрицу .

1.

2. , , ,

, , ,

, ,

3.

4.

5.

2)

Ответ: , , .

Решение и исследование систем линейных
алгебраических уравнений

Полный ответ на вопрос о существовании решения системы линейных уравнений с неизвестными дает следующая теорема Кронекера-Капелли.

Для того чтобы система уравнений (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы системы. Если ранги основной и расширенной матриц совпадают с числом неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной и расширенной матриц меньше числа неизвестных , то система (6.1) имеет бесконечное множество решений.

В последнем случае неизвестных назовем базисным, а - свободными. Свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определяются уже единственным образом.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Метод Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы ее расширенная матрица оказалась трапециевидной (ступенчатой). После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

Поясним идею метода Гаусса на примерах.

Пример. Решить систему .

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду

Если не учитывать последний столбец, найдем ранг основной матрицы ; учитывая последней столбец, найдем ранг расширенной матрицы . Число неизвестных тоже равно 3. Система совместна и имеет единственное решение. Полученной матрице соответствует эквивалентная система:

Далее порядок действий очевиден. Из последнего уравнения ; подставляя это значение во второе уравнение, мы получаем . И наконец, из первого уравнения находим .

Замечания. При переходе от первой матрицы ко второй в качестве рабочей строки бралась первая, которая умножалась соответственно на 2 и (-1) и складывалась со второй и третьей строками. В результате мы получили нули в первом столбце. При переходе от второй матрицы к третьей в качестве рабочей строки бралась вторая, которая умножалась на (-2) и складывалась с третьей строкой.

Пример. Исследовать систему .

Решение.

Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

Так как , , то система несовместна.

Пример. Решить систему .

Так как , , то система совместна. Она имеет бесчисленное множество решений, потому что ранг матрицы меньше числа неизвестных. Восстановим систему по последней матрице:

Базисными неизвестными являются и , переменная - свободной. Обратной подстановкой найдем и из системы:

,

где - любое действительное число.