Линейные дифференциальные уравнения

Пример 11. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

Решение уравнения ищем в виде (или, в краткой форме, ). Продифференцируем это равенство по : . Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

. (21)

Выберем функцию так, чтобы , т.е. в качестве выберем любое (ненулевое!) частное решение уравнения . Тогда

Положим (поскольку нам нужно одно решение); отсюда

Подставим в уравнение (21), которое принимает вид

Итак, общее решение исходного уравнения

Пример 12. Найти решение задачи Коши .

Производя подстановку , , получим

. (22)

Выберем (ненулевую) функцию так, чтобы

и, полагая , получим .

Подставим в уравнение (22):

Интегрируя последнее уравнение, находим , откуда получаем общее решение исходного уравнения

Воспользуемся начальным условием и найдем :

Итак, решение задачи Коши имеет вид .

Дифференциальные уравнения высших порядков

Пример 13. Найти общее решение ДУ .

Интегрирование по обеих частей уравнения понижает порядок уравнения на единицу. Получаем .

Проинтегрировав полученное уравнение, находим

общее решение уравнения.

Пример 14. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Общее решение ДУ найдем последовательным интегрированием уравнения

, (23)

. (24)

Воспользуемся начальными условиями, подставив в (23), в (24).

Получим

Таким образом, частное решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример 15. Найти общее решение ДУ .

Это уравнение не содержит явно искомой функции , что позволяет понизить его порядок. Обозначим , тогда . Уравнение принимает вид . Это ДУ с разделяющимися переменными. .

После разделения переменных получим

или .

Интегрируем по : общее решение данного ДУ.

Пример 16. Найти общее решение ДУ .

Это ДУ, не содержащее явно независимой переменной . Подстановка понижает порядок уравнения на единицу. Имеем . Тогда . Получили уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных имеем .

Интегрируем или ,

или . Заменяем .

или . Это ДУ с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим . Интегрируем

общий интеграл ДУ. Решением является , кроме .

Пример 17. Найти решение задачи Коши .

Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение, заменяя на , на , а на 1. Получаем . Корни уравнения вещественные и различные. Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения . Используя начальные условия , получим систему уравнений

Решая ее, находим .

Таким образом, - решение задачи Коши.

Пример 18. Найти общее решение ДУ .

Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение, заменяя .

. Корни уравнения вещественные и равные. Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения . Общее решение уравнения имеет вид .

Пример 19. Найти общее решение уравнения .

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид . Корни уравнения комплексные. Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения . Общее решение имеет вид .

Пример 20. Найти общее решение ДУ .

Это линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение , где общее решение соответствующего однородного уравнения, частное решение неоднородного уравнения. Решим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид . Корни уравнения - вещественные и различные. Общее решение имеет вид . Так как ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю, то частное решение ищем в виде . Найдем . Подставим в исходное уравнение. Получим