Собственные вектора и собственные значения матрицы

Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы го порядка, соответствующим собственному значению если он удовлетворяет матричному уравнению

или

Здесь - единичная матрица - го порядка, а 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений

Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

 

Пример. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:

или

откуда следует, что матрица имеет два собственных значения и Собственный вектор соответствующий определяется из системы уравнений вида

, или

которая сводится к одному уравнению Полагая получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть

Второй собственный вектор соответствующий собственному значению определяется из системы уравнений вида:

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению полагая запишем ее решение в виде Следовательно, второй собственный вектор есть

Таким образом, матрица имеет два собственных значения и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя)

ВЕКТОРЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Основные понятия

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами a, b, g, образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)

Операции над векторами

 

Произведение вектора на скалярный множитель l определяется по формуле l = ( l а₁, l а₂, l а₃).

Для двух векторов , их сумма и разность определяются по правилам:

 

Геометрически сумма и разность векторов строится как на рисунке:

 

Если точка О - начало координат, а М - точка с координатами (x, y, z), то вектор называется радиусом-вектором точки М.

Вектор с началом в точке А (x ₁, y ₁, z ₁) и концом в точке В (x ₂, y ₂, z ₂) в координатном виде записывается так: = .

 

Примеры.

а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е. . Так как , то Та-ким образом,

б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.

По формулам (4.1) и (4.2) определяем

 

3) Найти вектор , если А (2, 1, 0) и В (3, 0, 5).

 

Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =

= (1, -1, 5).