Криволинейный интеграл II рода

 

Рассмотрим пространство R ². Пусть в области D Ì R ² определены две непрерывные функции P (x,y), Q (x,y), тогда в любой точке М(x, y) Î D определена векторная функция `F(x, y) = (P (x, y); Q (x, y)), которую в векторной форме можно записать в виде: .

 

Пусть функции P (x, y) и Q (x, y) определены в точках гладкой дуги кривой L Ì D. Разобьем дугу на части точками М₁,М₂,...М _n. На каждой дуге возьмем произвольную точку и вычислим значение .

Пусть [ a, b ]и[ c, d ] – проекции на OX и OY соответственно, т.е. x Î[ a, b ], y Î [ c, d ], когда М(х, у) Î . Каждую частичную дугу спроектируем на оси координат, получим разбиение отрезков [ a, b ]и[ c, d ] на n частей, длины частичных интервалов обозначим соответственно D х_k и D y_k. Составим интегральную сумму вида:

.

Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов на векторы , где , т.е.

Обозначим

Определение 5.1

Если существует , не зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точки , то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается или .

Итак, криволинейный интеграл II рода

,

Заметим, что условие →0 равносильно условиям

В отличие от криволинейного интеграла I рода, который еще называют интегралом по длине дуги, криволинейный интеграл II рода называют криволинейным интегралом по координатам.

Свойства:

1. - меняет знак при изменении ориентации кривой (направления движения по кривой).

2. Свойство линейности, аддитивности (АВ = АС + СВ) аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода. В частности,

3. Связь между криволинейными интегралами I и II рода выражает формула: ,

где (cosa,cosb) – направляющие косинусы касательной к дуге АВ в любой ее точке.

Способы вычисления криволинейного интеграла II рода:

1) Если АВ: y = j(x), x Î [ a, b ], то dy = j¢(x) dx и

2) Если АВ: x = y(y), y Î [ c, d ],то dx = y¢(y) dy и

3) Если АВ: , t Î [a,b], dx = x ¢(t) dt, dy = y ¢(t) dt, то

 

Аналогично можно дать определение криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой

Пример 2.

Вычислить , где АВ – отрезок прямой между точками В(1, 1, 1), А(0, 0, 2).

Решение: Найдем уравнение АВ:

.

Тогда , значит,

.

Физический смысл криволинейного интеграла II рода:

определяет работу силы при перемещении материальной точки вдоль кривой L из положения А в положение В. Действительно, пусть материальная точка M(x, y) движется вдоль некоторой плоской (можно аналогично рассмотреть и пространственную) кривой L от точки A к точке B. Пусть вдоль кривой действует сила , которая меняется по величине и направлению при перемещении точки M, т.е. сила является функцией точки: . Найдём работу A силы при перемещении точки из положения A в положение B.

Как известно, в случае, когда сила постоянна, а путь прямолинейный, работа равна (*), т.е. скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения . Воспользуемся этим фактом и для решения поставленной задачи.

1) Разобьём дугу AB в направлении от точки A к точке B на n частей точками A=M ₀,M₁, M₂,…, M_n=B и обозначим через вектор . Тогда

(рис.34). Пусть λ – наибольшая из длин этих векторов, т.е.

.

2) На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку _k(x_k,y_k) и предположим, что в пределах каждой элементарной дуги сила постоянна и равна . Тогда в силу (*), скалярное произведение можно рассматривать как приближённое значение работы A_k силы вдоль дуги .

Пусть

Тогда

3) Искомая работа A силы на всей дуге AB будет приближённо равна

и это приближённое равенство тем точнее, чем меньше λ.

4) Следовательно, истинное значение работы A силы при перемещении точки M по дуге AB получим, переходя к пределу при λ→0: = .

 

 

Рассмотрим замкнутую кривую C, будем называть ее замкнутымконтуром. Ориентацию на этой кривой выберем следующим образом: если при движении точки М вдоль кривой ограниченная этим контуром область G остается слева, то направление движения (ориентацию на кривой) будем считать положительным. В противном случае – отрицательным.

 

Криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру будем обозначать

Справедлива

Теорема 5. 1 (формула Грина)

Пусть С – положительно ориентированная замкнутая кривая, ограничивающая область D, а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными в области D и на границе C. Тогда имеет место равенство

.

(без доказательства). Это равенство называют формулой Грина.

Пример 3.

Вычислить .

Решение: Здесь Р(х, у) = у, Q(x, y) =(x +1), . Тогда по формуле Грина

.

Здесь мы используем свойство двойного интеграла

Заметим, что если , то

Рассмотрим три случая:

Тогда

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру С можно найти площадь области, ограниченной этим контуром:

Справедливо также следующая важная

Теорема 5.2

Если функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными в области D и , то следующие утверждения эквивалентны:

1. для любого замкнутого контура ;

2. - не зависит от пути интегрирования АВ, а зависит только от начальной А и конечной В его точек и обозначается: . Условие при этом называют условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3. существует функция и (х, у) такая, что а и тогда

.

Доказательство первого из этих утверждений легко следует из формулы Грина. Доказательство второго из этих утверждений проведите или изучите самостоятельно.

Третье утверждение рассмотрим без доказательства. Отметим только его важный смысл: равенство , по существу, представляет аналог формулы Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла второго рода. Если при этом А (х ₀, y ₀) – некоторая фиксированная точка, а В (x, y) – текущая точка области D, то

,

что означает аналог теоремы Барроу, где С = - u (х ₀, y ₀). Таким образом, если по известному дифференциалу функции двух переменных требуется найти функцию u (х, y), нужно вычислить криволинейный интеграл второго рода от выражения du по любому пути, соединяющему произвольную фиксированную точку (х ₀, у ₀) области определения функций и текущую точку (х, у). Очевидно, такие функции определяются с точностью до константы.

Пример 4.

Вычислить

Так как P = x+ 2 y, Q = y+ 2 x – непрерывные функции, – тоже непрерывные и выполняется условие , то интеграл не зависит от вида кривой, а зависит только от точек (1, 1) и (3, 5). Значит, можно выбрать любую линию, их соединяющую.

Рассмотрим ломанную АСВ, где С (3, 1), со звеньями, параллельными осям координат. Тогда

Но АС: y = 1, dy = 0, x Î [1, 3],

CB: x = 3, dx = 0, y Î [1, 5].

Тогда

Рассмотрим прямую АВ: 2(x -1) = (y -1), откуда

y = 2 x- 2+1, y = 2 x -1, а dy = 2 dx. Тогда

.

Пример 5.

Найти функцию U(x,y) по ее дифференциалу

dU = (x ⁴ + 4 xy ³) dx + (6 x ³ y ² - 5 y ⁴) dy.

Решение: Убедимся в том, что для P=x ⁴+4 xy ³ и Q =6 x ³ y ²-5 y ⁴ выполняется условие .

Тогда

= ,

где .

Если взять (х ₀, y ₀)= (0, 0), получим:

.

В случае функции 3-х переменных и пространственной кривой L, условия независимости интеграла от пути интегрирования (или того, что есть дифференциал некоторой функции) имеют вид:

Пример 6.

Вычислить .

Решение: Здесь , , значит, данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, в только от начальной (0, 0, 0) и конечной (2, 3, 4) точек. Возьмем, например отрезок прямой, соединяющей эти точки, его уравнения

.

Тогда