Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов

Пользуясь определением первообразной функции, можно доказать следующие свойства неопределенного интеграла.

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Действительно, используя формулу du = u¢ (x) dx и первое свойство, получим

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Действительно, так как dF (x) = F¢ (x) dx, то , т.к. F (x)– есть первообразная для F ¢(x).

4) Константу можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

Действительно, по свойству первому, и

. Значит, и есть первообразные одной и той же функции Аf (x), поэтому, по теореме 1.1, они равны между собой с точностью до константы.

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых в отдельности:

Пусть , а . Тогда = (F (x) + C ₁) ± (G (x) + C ₂) = (F (x) ± G (x))+(C ₁ ± C ₂) = (F (x) ± G (x))+ C = – ч.т.д.

Заметим, что это свойство можно распространить на сумму любого конечного числа слагаемых. Свойства 4 и 5 можно объединить в одно, называемое свойством линейности неопределенного интеграла

6) Если , то для любой дифференцируемой функции и = и (х) имеет место равенство . Это свойство называется свойством инвариантности неопределенного интеграла.

Докажем его. По условию, F (x) есть первообразная для f (x), т.е. F ¢(x) = f (x). Пусть и = и (х) любая дифференцируемая функция. Тогда

f (u) du = f (u (x)) du (x) = f (u (x)) u ¢(x) dx.

Доказать свойство 6 – значит, доказать, что F (u) = F (u (x)) есть первообразная для функции f (u (x)) u ¢(x). Но это действительно так, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции имеем

Значит, . Ч.т.д.

В частности, из этого свойства следует, что

, ,

Поскольку операция интегрирования является обратной операции дифференцирования, то каждой из ранее доказанных формул дифференцирования соответствует обратная ей формула интегрирования. Составим таблицу, в которой каждой формуле дифференцирования поставим в соответствие обратную ей формулу интегрирования (будем полагать, как обычно, что х – независимая переменная, а >0, a ÎR и СÎR – константы):

1. С¢ = 0	1.
2. х ¢ = 1	2.
3.	3.
4.	4.
5. (а^х)¢ = а^х ln a	5.
6. (e^x)¢ = e^x	6.
7. (cos x)¢ = – sin x	7.
8. (sin x)¢ = cos x	8.
9.	9.
10.	10.
11. ,	11.
12. ,	12.