Тема 1. Елементи лінійної алгебри

Лекція 1.1. Матриці. Дії над матрицями. Визначники 2-го, 3-го, та n -го порядку. Властивості визначників. Обернена матриця. Мінор к -го порядку. Ранг матриці

 

Матриці

 

Означення. Матрицею розміру т на п називають прямокутну таблицю т п чисел, що складається з т рядків і п стовпців.

Позначення матриці:

Числа називають елементами матриці, де і – номер рядка, а j – номер стовпця, на перетині яких міститься елемент .

Матрицю, що складається лише з одного рядка, називають матрицею-рядком і позначають

,

а матрицю лише з одним стовпцем – матрицею-стовпцем і позначають

Дві матриці вважаються рівними, якщо в них однакові кількості рядків і стовпців, а також рівні між собою відповідні елементи.

Матрицю, всі елементи якої дорівнюють нулю, називають нульовою і позначають

Квадратною називають матрицю, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців, тобто т = п. Її позначають так:

Число п називають порядком матриці. Елементи квадратної матриці утворюють її головну діагональ, а елементи - побічну діагональ.

Діагональною називають квадратну матрицю, в якої всі елементи, що розміщені не на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Її позначають так:

Одиничною називають діагональну матрицю, в якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці:

 

Дії над матрицями

Лінійними операціями над матрицями називають операції (дії) додавання, віднімання матриць (лише однакового розміру) та множення їх на число.

Означення. Сумою (різницею) двох матриць і розміру т п називають таку матрицю розміру т п, елементи якої визначаються рівністю Позначення суми (різниці):

 

Означення. Добутком матриці на дійсне число називають матрицю , елементи якої визначаються рівністю Це записують так: або

 

Матрицю називають протилежною матриці А і позначають – А.

В л а с т и в о с т і л і н і й н и х о п е р а ц і й н а д м а т р и ц я м и

j n

k o

l p

m q

 

Дія множення матриці на матрицю вводиться лише для узгоджених матриць. Матрицю А називають узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай матриця , тобто має розмір , а матриця , тобто має розмір .

Означення. Добутком матриці на матрицю називають матрицю , елементи якої визначаються рівністю

Зауваження. У загальному випадку , тобто множення матриць – операція не комутативна. Якщо , то матриці А і В називають комутативними.

 

В л а с т и в о с т і о п е р а ц і ї м н о ж е н н я м а т р и ц ь

 

j m

k n

l o

 

Операція піднесення до степеня визначена тільки для квадратних матриць.

Означення. Цілим додатним степенем квадратної матриці А називають добуток п матриць, рівних А, тобто .

Для кожної матриці розміру можна побудувати матрицю розміру , елементи якої визначаються рівністю . Матрицю називають транспонованою до матриці А.

В л а с т и в о с т і о п е р а ц і ї т р а н с п о н у в а н н я м а т р и ц ь

j l

k m

 

 

Визначники 2-го, 3-го, та n-го порядку

 

Означення. Вираз

називається визначником другого порядку.

Означення. Вираз

називається визначником третього порядку.

Визначник третього порядку обчислюється за правилом трикутника.

Розглянемо квадратну матрицю А п -го порядку.

Означення. Вираз

називається визначником п -порядку.

Означення. Мінором елемента визначника називається визначник, який утворюється з даного визначника в результаті ви креслення і -го рядка та j -го стовпця.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається мінор, взятий зі знаком , тобто = .

Теорема 1. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення:

(розклад визначника за елементами і -го рядка; );

(розклад визначника за елементами j -го рядка; ).

 

Теорема 2. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця)дорівнює нулеві.

 

В л а с т и в о с т і в и з н а ч н и к і в

 

j У разі транспонування матриці її визначник не змінюється.

k Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулеві, то й визначник дорівнює нулеві.

l У разі переставлення двох рядків (стовпців) визначник змінює знак на протилежний.

m Спільний множник усіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника можна виносити за знак визначника.

n Визначник, який має два пропорційних рядки (стовпці), дорівнює нулеві.

o Якщо і -й рядок (стовпець) матриці С дорівнює сумі і -го рядка (стовпця) матриці А та і -го рядка (стовпця) матриці В, а всі інші рядки (стовпці) матриць А, В, С відповідно дорівнюють один одному, то

p Визначник не зміниться, якщо до елементів його одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число.

q Визначник добутку матриць дорівнює добуткові визначників цих матриць.

 

Обернена матриця

Означення. Оберненою матрицею до квадратної матриці А називають таку матрицю для якої

де - алгебраїчне доповнення елемента - визначник матриці А.

Означення. Квадратну матрицю називають невиродженою, або неособливою, якщо її визначник не дорівнює нулю (); у протилежному разі () матрицю називають виродженою, або особливою.

Теорема 3. Кожна неособлива матриця А має обернену, і до того ж тільки одну.

В л а с т и в о с т і о б е р н е н и х м а т р и ц ь

1. Оберненою до матриці є матриця :

2. Обернена матриця до добутку двох матриць дорівнює добутку обернених матриць до матриць співмножників, взятих у зворотному порядку:

3. Обернена матриця до транспонованої матриці дорівнює матриці, транспонованій до оберненої:

 

Мінор к-го порядку. Ранг матриці

 

Нехай задано матрицю . Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k – число не більше чисел m і n, тобто .

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k -го порядку матриці А.

Рангом матриці називається найбільший порядок відмінного від нуля мінора матриці і позначається . Ранг нульової матриці дорівнює нулеві.

Елементарні перетворення матриці:

1. множення деякого рядка (стовпця) матриці на відмінне від нуля число;

2. додавання до деякого рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця) даної матриці, помноженого на відмінне від нуля число;

3. переставляння будь-яких двох рядків (стовпців) матриці.

 

Ранг матриці не зміниться після елементарних перетворень матриці.

Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно незалежних рядків або стовпців.

Ранг матриці можна знаходити такими методами:

метод обведення: даний метод ґрунтується на означенні рангу матриці як максимального порядку відмінного від нуля мінора;

метод Гаусса: за допомогою елементарних перетворень дану матрицю можна звести до вигляду

в якому всі елементи - не нульові, а елементи інших рядків, розміщені під ними, - нульові. .