Переписать данный материал в лекции...

Df 6. Бесконечное числовое множество называется счетным, если , т.е. существует биекция на .

 

Существует биекция , т.е. X – счетно. Если множество X счетно, то все элементы можно расположить в некотором порядке , , соответственно .

Любое непустое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно

Док-во:

Пусть - счетно (т.е. ), тогда его элементы можно расположить в последовательность, т.е.

………………………………….(1)

И пусть , , - первый элемент последовательности (1), является элементом B, так, что . Пусть - второй такой элемент последовательности (1) так что и и т.д.

Возможны 2 варианта:

1) «пройдем» по всем элементам множества А и на конечном шаге оборвем этот процесс, в этом случае множество В – конечно.

2) Когда процесс выбора бесконечен получаем бесконечную последовательность ; , при , состоящую из всех элементов множества И. положим . Отображение есть биекция на В, поэтому (равномощно), т.е. в случае 2) множество В – счетно.

 

Следствие. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Df 7. Множество называется не более чем счетным, если оно конечно или счетно.

Объединение счетного числа счетных множеств есть множество счетное.

Док-во:

Пусть , () – семейство счетных множеств и . Расположим каждое множество в последовательность

………………………………………..

 

 

Th 2. Множество всех целых или рациональных чисел – счетное.

Док-во:

1) надо найти биекцию из в , получаем:

Геометрически:

3=2×1+1

1

 

Следовательно, - счетно.

2) Рассмотрим . поскольку . Рассмотрим множество , где В – множество всевозможных упорядоченных пар . Очевидно по Df.

Докажем счетность множества В, для чего построим таблицу:

…………………………………………………………

 

В этой таблице содержатся все элементы множества В и каждый элемент из В входит в таблицу только один раз. Пронумеровав таблицу согласно стрелкам, получим биекцию на В.

Итак, В – счетно, следовательно , тоже счетно.

 

Th. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Th 3. Множество на несчетно.

Док-во (от противного)

Пусть и предположим, что - счетное, тогда

Разделим на три части:

 

Тогда найдется отрезок, который не содержит и , - делим на 3 части, и выбираем ту из них, которая не содержит , т.е. и , но тогда .

Поступаем аналогично с

Обозначим через , ту из равных частей отрезка на которой не лежит точка . На n -ом шаге получаем, что и .

Рассмотрим . Согласно th о вложенных отрезках множество , т.е. , что принадлежит всем отрезкам , , . Итак, на , который не совпадает ни с одним , .

Получили противоречие, т.к. по предположению , т.е. все состоит из этих точек. Следовательно, предположение не верно.

 

Th. Множество всех действительных чисел несчетно.

 

Th. Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно.

Глава II