Уравнение плоскости в пространстве

Оглавление

Варианты контрольной работы №2………………………………………………….2

Справочный материал по теме«Аналитическая геометрия на плоскости……….3

1. Декартова система координат (ДСК) на плоскости………………….……....3

2. Прямая линия на плоскости……………………………………………………3

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия в пространстве»……4

1. Уравнение плоскости в пространстве…………………………….……..........4

2. Уравнения прямой в пространстве…………………………………..………..5

Примерный вариант и образец выполнения домашней контрольной №2………...6

Варианты контрольной работы №2

Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС.

 

№ варианта	Координаты точек	№ варианта	Координаты точек
	А (–2; –3), В (2; 7), С (6; –1)		А (3; –3), В (–4; 1), С (–2; 5)
	А (–5; 1), В (6; 3), С (–4; –7)		А (3; 5), В (–2; 2), С (2; –4)
	А (4; 5), В (–3; 2), С (5; –4)		А (–2; 4), В (5; 6), С (3; –4)
	А (7; –7), В (1; 2), С (–5; –4)		А (3; 7), В (–4; 1), С (–2; –5)
	А (–2; –3), В (6; 3), С (5; –4)		А (3; 5), В (5; 6), С (3; –4)
	А (–3; 4), В (4; 5), С (8; –3)		А (4; 3), В (–3; –2), С (–7; 2)

 

Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение стороны ВС;

3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;

4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;

5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);

6) сделать чертеж в системе координат.

 

Задача 2. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD.

№ варианта	Координаты точек
	А (1; 2; –1), В (0; 0; 1), С (1; –3; 3), D (2; –1; –1)
	А (7; 2; 4), В (7; –1; –2), С (3; 3; 1), D (4; 2; 1)
	А (1; 3; 6), В (2; 2; 1), С (–1; 0; 1), D (–4; 6; –3)
	А (–2; 0; –4), В (–1; 7; 1), С (4; –8; –4), D (1; –4; 6)
	А (1; 2; 0), В (3; 0; –1), С (5; –2; 3), D (3; 2; –1)
	А (–1; 1; 2), В (2; 1; –2), С (–2; 0; 4), D (2; –1; 2)
	А (4; 2; 5), В (2; –3; 0), С (–10; 5; 8), D (–5; 2; 4)
	А (2; –1; 1), В (–1; –3; 2), С (–2; 3; 1), D (–1; 2; –3)
	А (7; 2; 4), В (2; 2; 1), С (4; –8; –4), D (3; 2; –1)
	А (–1; 1; 2), В (2; –3; 0), С (–10; 5; 8), D (–2; 1; –1)
	А (–1; 1; 2), В (–2; 0; 3), С (3; 6; –3), D (–1; –2; 7)
	А (4; –1; 3), В (–2; 1; 0), С (0; –5; 1), D (–2; 1; –1)

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» (задачА 1)

Декартова система координат (ДСК) на плоскости

Расстояние |АВ| между двумя точками А (х_А; у_А)и В (х_В; у_В) (рис.1):

| AB | = . (1)

Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е. , то координаты точки C:

. (2)

Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:

. (3)

В ДСК уравнение линии имеет вид F (х, у) = 0 или у = f (х).

Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости:

Ах + В у + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):

 

у = kx+ b. (4)

Уравнение вертикальной прямой (рис. 2):

х = а. (5)

Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М (х ₀; у _0­) (уравнение пучка прямых):

у – y ₀ = k (x – x ₀). (6)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂):

Рис.2 . (7)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (8)

Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k ₁ x + b ₁ и у = k ₂ x + b ₂.

Условие параллельности прямых на плоскости:

k ₁ = k ₂._. (9)

Условие перпендикулярности прямых:

. (10)

Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k ₂ не существует, то k ₁ = 0 и обратно: если k ₂ = 0, то k ₁ не существует.

Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:

, (11)

откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k ₂ не существует, то .

Справочный материал по теме «Аналитическая геометрия В ПРОСТРАНСТВЕ» (задачА 2)

 

 

Уравнение плоскости в пространстве

 

Общее уравнение плоскости: ,

где A, B, C – координаты вектора нормали вектора (любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. (12)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

. (13)

Угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями и определяется как угол между векторами их нормалей и или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть

. (14)