Задания 4.2 для самостоятельной проработки

Составить программу для вычисления экстремума функции на заданном интервале с заданной точностью. 1) Найти аналитическое выражение для первой производной заданной в таблице функции. Одним из известных методов уточнения корня уравнения найти значение аргумента на заданном интервале, при котором первая производная обращается в ноль. Вычислить значение функции в полученной точке. С помощью второй производной определить вид экстремума (максимум или минимум) 2) Найти с помощью итерационного алгоритма экстремум той же функции и значение аргумента, при котором он достигается.

Обеспечить ввод в программе значения точности, значений, определяющих интервал поиска экстремума, начальный шаг изменения аргумента. Для обоих вариантов поиска экстремума вывести значение аргумента, при котором достигается экстремум функции, и значение функции в полученной точке.

Номер варианта	Функция	Интервал поиска экстремума
	X²+1/X²	[0,2; 2]
	X³- X²– 6X	[-2;0]
	cos(2x)/2 – sin(x) +2	[π/3;2π/3]
	X+2	[0;10]
	3X⁴-8X³+6 X²+2	[0,1;2]
	cos(2x)-2cos(x)	[-π/6;π/3]
	5^x-4X	[0;2]
	X³- X²– 6X	[0; 3]
	X⁴-8X²-9	[-1;1]
	(4^x+4^-x)/ln(4)	[-1;2]
	2X²+7\|X-4\| +5	[-1;2]
	X²	[1;5]
	X²+\|X-4\|	[-3;3]
	1/(X²+ X +2)	[-2;2]
	2X³+15X²+36X -30	[-4;-2,4]
	X⁴-6X³+8	[1;6]
		[0,6]
	X³-5X²+3X	[1,5;5]
	2X³-3X²	[-2;0,5]
	log₂(X²-2 X +5)	[0,2;2]
	6X - X²-6	[0;6]
	log₃(2 X +3- X²)	[0;2]
	X⁴-8X²-9	[-4;-0,5]
	3X⁴-8X³+6 X²+2	[-2;0,1]
	cos(2x)/2 – sin(x) +2	[-π/3;9π/10]
	2X³+15X²+36X -30	[-2,4;0]
	X³-5X²+3X	[-1;1]
	2X³-3X²	[0,5;3]
	X⁴-8X²-9	[0,2;3,5]
	log₂(3-4X - 4X²)	[-1,2;0]
	0,5^{x -2x}	[0;2]
	8^x-64^x-32^x	[0;3]
		[0;2,5]
		[2,5;4]

Обработка матриц

Матрицыпредставляют собой один из наиболее удобных математических объектов, обработка которых ведет к необходимости программирования вложенных циклов. При программной реализации обработки матриц будем использовать двумерные массивы(элементы которых имеют два индекса), считая, что элементы Х_ij матрицы Х, i=1, 2,...,m, j=1, 2,…,n размещаются в ячейках соответствующего массива с такими же индексами. Это позволит сделать текст программы удобным для понимания процесса обработки и уменьшить, в некоторых случаях, объём вычислений. Соответственно первый индекс массива будем называть номером строки, а второй – номером столбца.

Имея в виду соответствие элементов матрицы элементам массива, им дают, как правило, одинаковые имена; иногда в пояснениях к программе вместо термина «массив» будем использовать термин «матрица», как бы отождествлять объекты предметной области с объектами программы для лучшего понимания процессов обработки.

При постановке задач на обработку матриц с целью обеспечения применимости программ для обработки матриц, например, матрицы Х, размеры которых не должны превосходить заданных значений, например, m£12 и n£14, будем использовать сокращенное обозначение, например, Х(m,n), m£12, n£14. Указанные в таком обозначении максимальные значения индексов матрицы будут использоваться в объявлении типа соответствующего двумерного массива, а сами эти максимальные значения индексов желательно объявить в виде именованных констант. Если также учесть, что двумерный массив можно рассматривать и объявлять как одномерный массив с базовым типом массив, то объявление типа массива для хранения матриц с размерами, не превышающими 12х14 будет следующим.

const

mMax=12; nMax=14;

type

//Объявление типа строки двумерного массива типа tM

tV=array[1..mMax] of Real;

//Объявление типа двумерного массива

tM=array[1..nMax] of tV;

(при объявлении типа двумерного массива необходимо задавать тип обоих индексов и тип самих элементов матрицы).

Такое двухэтапное объявление типа двумерного массива удобно тем, что строка массива будет совместима по присваиванию с одномерным массивом того же типа tV.

Задание в разделе констант максимальных значений для количества строк и столбцов улучшает стиль программирования, так как в случае необходимости изменения количества строк или столбцов программисту не придется внимательно изучать весь текст программы, а достаточно будет изменить значения соответствующих констант.

Переменная-двумерный массив объявляется в разделе объявления переменных

var

X:tM;

Менее предпочтительными, но допустимыми будут объявления типа

tM=array[1..mMax, 1..nMax] of Real;

или

tM=array[1..12, 1..14] of Real;

и объявление массива одной строкой

var

X:array[1.. mMax, 1..nMax] of Real;

или

X:array[1..12, 1..14] of Real;

Последние варианты оказывается менее предпочтительны, так как при использовании в подпрограммах типизированных параметров, представляющих матрицы и векторы, без предварительного объявления используемых типов обойтись невозможно.

При работе с матрицами надо помнить, что первый индекс соответствует номеру строки, а второй индекс – номеру столбца.

Ввод-вывод матриц можно осуществить только с использованием вложенного цикла. Обычно принято вводить матрицу в виде матрицы, т.е. по строкам как это принято записывать на бумаге. В этом случае во внутреннем цикле должен обеспечиваться ввод (вывод) одной строки матрицы. Внешний цикл будет задавать ввод (вывод) всех строк матрицы и переход в начало новой строки после ввода (вывода) очередной строки.

Фрагмент программы, обеспечивающей ввод и вывод матрицы Х(m,n), m£12, n£14, ранее описанной, имеет следующий вид:

WriteLn('Введите количество строк и столбцов матрицы');

ReadLn(M,N);

WriteLn('Введите элементы матрицы по строкам');

for I:=1 to M do //Цикл ввода всех строк матрицы

begin

for J:=1 to N do //Цикл ввода очередной строки матрицы

Read(X[I,J]);

ReadLn; //Переход в начало новой строки файла ввода

end;

WriteLn('Введенная матрица');

for I:=1 to M do //Цикл вывода всех строк матрицы

begin

for J:=1 to N do //Цикл вывода очередной строки матрицы

Write(X[I,J]:6:1, ' ');

WriteLn; //Переход в начало новой строки файла вывода

end;

Порядок расположения циклов при вводе/выводе имеет существенное значение. Если поменять местами заголовки циклов, то вводимые значения будут присваиваться элементам столбца, а не элементам строки. При выводе матрицы в этом случае будет выведена фактически транспонированная матрица

Также надо соблюдать аккуратность при использовании приемов программирования. Например, при вычислении сумм и произведений надо следить за тем, в каком месте программы присваиваются начальные значения соответствующим переменным.

Следующий фрагмент программы позволяет вычислить сумму и произведение всех элементов матрицы:

S:=0; Pr:=1;

for I:=1 to M do

for J:=1 to N do

begin

S:=S+A[I,J];

Pr:=Pr*A[I,J];

end;

WriteLn('s=',S:8:2, ' pr=',Pr:8:2);

При изменении места расположения операторов присваивания S:=0; Pr:=1; смысл вычислений меняется:

for I:=1 to M do

begin

S:=0; Pr:=1;

for J:=1 to N do

begin

S:=S+A[I,J];

Pr:=Pr*A[I,J];

end;

WriteLn('s=',S:8:2, ' pr=',Pr:8:2);

end;

Приведенный фрагмент программы позволит вычислить сумму и произведение элементов каждой строки матрицы, а не всех элементов матрицы.

При вычислении максимального и минимального элементов матрицы также надо правильно устанавливать начальные значения вычисляемых переменных, а также правильно задавать пределы изменения параметров циклов:

Amax:=A[1,1]; Imax:=1; Jmax:=1;

Amin:=A[1,1]; Imin:=1; Jmin:=1;

for I:=1 to M do

for J:=1 to N do

if A[I,J]>Amax then

begin

Amax:=A[I,J];

Imax:=I;

Jmax:=J;

end

else if A[I,J]<Amin then

begin

Amin:=A[I,J];

Imin:=I;

Jmin:=J;

end;

WriteLn('amax=',Amax:8:2, ' imax=',Imax:2

,' jmax=',Jmax:2, ' amin=',Amin:8:2

,' imin=',Imin:2, ' jmin=',Jmin:2,);

В приведенном фрагменте программы нельзя опускать операторы присваивания начальных значений индексам минимального и максимального элементов (Imax:=1; Jmax:=1; Imin:=1; Jmin:=1;). В случае отсутствия указанных операторов индексы искомых элементов будут не определены в том случае, если первый элемент A[1,1] является максимальным (минимальным).

При поиске минимального (максимального) элемента матрицы нельзя устанавливать начальное значение параметра цикла, равное двум, как это можно сделать при обработке одномерного массива. Следующий фрагмент программы будет приводить к неверному результату, так как будут исключены из рассмотрения все элементы первой строки, за исключением первого, значение которого выбирается в качестве начального значения для максимума и минимума.

max:=A[1,1]; Imax:=1; Jmax:=1;

min:=A[1,1]; Imin:=1; Jmin:=1;

for I:=2 to M do

for J:=1 to N do

.....................

Рассмотрим примеры обработки матриц.