Элементы поведения функции

x

tt

Рис.17

На рис. 17 переменные откладываются на трех осях, изображенных параллельно. В конечном итоге взятому значению соответствует определенное значение , т.е. переменная оказалась функцией независимой переменной .

Получаем . Функция называется сложной функцией от независимой переменной или функцией от функции (функция от функции ). При этом функция называется заданной или внешней функцией, а - промежуточным аргументом. Функции и называют еще составляющими для сложной функции ; говорят также, что является суперпозицией функций и . Чтобы образовать функцию от функции, нужно, чтобы область значений промежуточной переменной "укладывалась" в область определения заданной функции (рис.18). В противном случае среди значений функции будут и такие, от которых значение функции образовать нельзя (рис. 19). В таких случаях сложную функцию (или функцию от функции) можно задать только для тех значений независимой переменной , для которых значения промежуточной переменной попадают в область определения внешней функции .

y

Область определения функции

x

Область значений функции

t

Область определения функции

Рис.18

y

? Область значений функции

x

Область определения функции

t

Область определения функции

Рис.19

Примеры:

1. . Область значений промежуточной переменной - отрезок [-1;1]; он не укладывается в область определения внешней функции [ее область определения ]. Поэтому сложную функцию можно образовать только для тех значений аргумента , для которых .

2. . Здесь область значений промежуточного переменного , а область определения внешней функции . Значит, в этом случае образовать сложную функцию [т.е. суперпозицию функций и ] нельзя.

Сложные функции могут быть образованы и из большего числа составляющих.

Примеры:

1. у = x³; x = sint, t = 3w + l; у = F(w) = (sin(3w + l))³ - Здесь два промежуточных аргумента х и t, независимая переменная w.

2. .

1.3.2. Обратная функция. Пусть на некотором интервале X задана функция , область значений которой обозначим Y. Согласно определению функции каждому значению соответствует определенное значение . Если же интервал X является интервалом монотонности для f(x), то и каждомузначению отвечает одно вполне определенное значение , для которого у = f(x) (рис.20). Таким образом, в этом случае функциональная зависимость между может рассматриваться и как функция , т.е. можно рассматривать как аргумент, а - как функцию. У функции областью определения является Y, а областью значений - X. Функции и называются взаимно обратными обратная функция к функции ; - обратная функция к функции . Уравнение получается в результате разрешения, если это возможно, уравнения относительно переменной .

Если f и - взаимно обратные функции, то имеют место тождества (рис.21)

Графиком функции является та же линия, которая изображала функцию y = f(x):ведь уравнение - просто иначе переписанное уравнение у = f(x).

Рис. 20 Рис. 21

Примеры:

1. - обратная к ней функция. Областью определения функции у = 2^х является , этот же интервал является областью значений обратной функции . Областью значений функции служит интервал , он же является областью определения для (рис.22). Обратная функция в этом примере существует потому, что - возрастающая функция на всей числовой оси.

2. (рис.17).

Рис.22 Рис.23

Функция несколько неудобна тем, что, вопреки привычному, ее аргументом является , а не и значением функции служит , а не . Неудобство это скорее психологического характера, однако, чтобы его избежать, наряду с функцией рассматривают функцию , которую также называют обратной функцией к функции . Функция получается из переменой ролей и :

обратные функции к

Примеры:

1.

обратные функции к

2.

обратные функции к

График обратной функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

При таком перегибании плоскости график нашей функции отобразится симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.24). На рис.25 показаны графики взаимно обратных функций и .

Рис.24 Рис.25

1.3.3.Неявные функции. Иногда функциональная зависимость величин у и х задается некоторым уравнением, связывающим х и у, но нерешенным ни относительно у, ниотносительно х. Например, уравнение прямой Правда, его очень просто решить относительно у: , и мы получаем обычное задание функции. Однако уравнение, связывающее х и у, не всегда удается разрешить относительно у или х. Таково, например, уравнение . Однако и здесь значениям х отвечают определенные значения у (например, значению х = 0 отвечает у = -2). В таких случаях говорят, что функция у - неявная функция от х, она задана уравнением, связывающим x и у. Подобным образом задаются многие кривые в аналитической геометрии. Например, - уравнение окружности (с центром в начале координат и радиуса ). Здесь можно явно выразить у через х: , но получаются две функции, соответствующие "+" или "-" перед корнем (верхняя и нижняя полуокружности). Точно так же уравнение эллипса заданием неявной функции. В самом общем виде уравнение, задающее неявную функцию, можно записать как

где буква F "скрывает" те операции над х и у, которые следует проделать в основной (левой) части уравнения. Исследовать неявные функции почти всегда труднее.

1.3.4. Параметрическое задание функции. Кривые на плоскости часто задаются параметрическими уравнениями. В этих уравнениях координаты х и у точки на кривой выражены как функции третьего, вспомогательного переменного t (параметра):

Это новый, иногда наиболее удобный, способ задать функциональную зависимость между х и у. Считаем, что функция имеет обратную: . [т.е. решаем уравнение относительно ]. Поставив это во второе уравнение, получим:

т.е. у есть функция от х (сложная функция).

Примеры:

1)

2)

параметрические уравнения: 1) окружности радиуса , 2) эллипса с полуосями а и b.

Весьма часто параметрическое задание линии возникает в механике. Там x и у - координаты движущейся точки, меняющиеся в зависимости от времени t, а линия - траектория этой точки.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?

2. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.

3. Четность, нечетность функция

4. Период и периодичность функции

5. Операции над множествами, их свойства

6. Область определения произведения и суммы функции

Литература:

Основная [2] Глава 1 § 1.1-1.11 стр. 9-31 Глава 2 § 2.1-2.12 стр. 34-64

Глава 3 § 3.1-3.2 стр. 66-85

[19] 2.1-2.4 стр. 138-162