Теорема о трех перпендикулярах

Модуль 1Г.

Тема 1. Аксиомы стереометрии.

А1. Через любые три точки, не лежащие на данной прямой, проходит плоскость, и притом только одна;

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости;

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна;

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна;

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Многогранники
Призмы	Пирамиды
Параллелепипед	Куб	Тетраэдр

Определение: скрещивающимися прямыми называются прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Под секущей плоскостью объемной фигуры будем понимать плоскость, по обе стороны которой имеются точки данной фигуры.

_________________________________________

Задача 1. Дана 7 – угольная призма. Найдите a + b – c, где a – число вершин, b – число граней, c – число ребер призмы.

Задача 2. Докажите следствие 1.

Задача 3. Докажите, что если некоторая прямая пересекает две параллельные прямые, то все три прямые лежат в одной плоскости.

Тема 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема, если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым, проведённым на этой плоскости через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой на плоскости, проведённой через туже точку пересечения.

Определение: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна всякой прямой, лежащей в этой плоскости, проведённой через точку пересечения.

Замечание. За меру расстояния между прямыми и плоскостями принимается проведённая между ними длина перпендикуляра.

Наклонная.

Определение всякая иная прямая отличная от перпендикуляра и пересекающая плоскость называется наклонной к этой плоскости.

Определение. Точка пересечения прямой с плоскостью называется основанием перпендикуляра или наклонной.

Определение. Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной.

Теорема (о длине перпендикуляра и наклонной).

1) Перпендикуляр, проведённый к плоскости короче наклонной к этой плоскости;

2) Равным наклонным соответствуют равные проекции;

3) Из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

 

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема. Пусть АН – перпендикуляр к плоскости , если проекция НМ наклонной АМ перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости , то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.

Задача 4. Найдите площадь сечения АА₁С₁С прямоугольного параллелепипеда все ребра которого равны .

Задача 5. Найдите диагональ АС₁ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из вершины А равны 1, 3 и 5.

Задача 6. Найдите расстояние от вершины В до ребра D₁ С₁ прямоугольного параллелепипеда АВC … D₁ , ребра которого равны ВВ₁ = 1, ВС = 3 и АВ = 5.

Задача 7. Найдите расстояние от вершины А до прямой D₁В₁, ребра которого, выходящие из вершины А равны 1, 3 и 5.

Задача 8*. Найдите расстояние от вершины А до плоскости АВ₁С, прямоугольного параллелепипеда АВC … D₁ ребра которого, выходящие из вершины А равны 1, 3 и 5.

Задача 9. Найдите площадь сечения АD₁С прямоугольного параллелепипеда все ребра которого равны .

Задача 10. АВС…С₁ - правильная треугольная призма, ребра основания которой равны 1, а боковые ребра . Найдите расстояние от вершины А до плоскости СВВ₁С₁.

Задача 11. АВС…С₁ - правильная треугольная призма, ребра основания которой равны 1, а боковые ребра . Найдите расстояние от вершины А до ребра С₁В₁

Задача 12. АВСD – правильный единичный тетраэдр. Найдите расстояние между серединами ребер АВ и СD.

Задача 13. Докажите, что вершина правильной n – угольной пирамиды проектируется в центр окружности описанной вокруг её основания.

Замечание. Рассмотрите частный случай для тетраэдра АВСD.

Задача 14. Найдите расстояние от вершины D до грани АВС.

Задача 15*. Найдите расстояние от вершины D до сечения тетраэдра, проходящего через вершину С и середины ребер АD и BD и найдите его площадь сечения.