Нечеткие числа и интервалы доверия

Нечеткие числа

Предположим имеется число А, которое назовем "центральным измеренным значением". Это число получено посредством субъективных измерений (оценок). Поскольку нет уверенности, что число А является точным, т.е. А - неточное число, введем некоторую ошибку DА, которая может быть положительной или отрицательной. Таким образом, А±DА будет представлять подмножество возможных значений от А-DА до А+DА, где А - есть центральное значение и DА - положительное отклонение. Обозначим нечеткое число большой курсивной буквой и тремя значениями:

А =(А-DА,А,А+DА)

Рассмотрим операции на нечетких числах.

Сумма нечетких чисел. Пусть А=(А-DА,А,А+DА) и В=(В-DВ,В,В+DВ) - два нечетких числа. Сумма двух нечетких чисел, обозначаемая знаком ‘Å‘, определятся так:

А Å В =(А-DА,А,А+DА) Å (В-DВ,В,В+DВ)=(А+В-DА-DВ,А+В,А+В+DА+DВ).

Числа А и В являются вещественными числами, т.е. А R, B R, в то время как DА и DВ будут неотрицательными вещественными числами, т.е. DАÎR и DВÎR.

Пример.

А =(4,5,6) с D5=1

В =(1,3,5) с D3=2

То есть А =(5-1,5,5+1)

В =(3-2,3,3+2)

А Å В =(3+5-1-2,5+3,5+3+1+2)=(5,8,11)

Очевидно, что сумма нечетких чисел коммутативна и ассоциативна.

Разность нечетких чисел, обо значаемая знаком -, определяется следующим образом:

А (-) В = (А-DА,А,А+DА)(-)(В-DВ,В,В+DВ) =

= (А-DА-(В+DВ)),А-В,А+DА-(В-DВ)) =

= (А-В-DА-DВ,А-В,А-В+DА+DВ).

Откуда следует

D(А-В)=DА+DВ

т.е. отклонения в операции разность суммируются, когда остаются центральные значения.

Пример:

А =(4,5,6) с D5=1

В =(1,3,5) с D3=2

А (-) В =(5-3-1-2,5-3,5-3+1+2)=(-1,2,5) с D2=3

Если для точных чисел

А-А =0

то для нечетких чисел следующее:

А (-) А = (А-DА,А,А+DА)-(А-DА,А,А+DА) =

= (0-2 DА,0,0+2 DА) =

= (-2 DА,0,2 DА), D0=2D А.

Не только результат вычитания не равен (0,0,0), т.е. 0, но даже отклонение D0=2D А.

Определим дополнение А.

А ^- =(0,0,0)(-)(А-DА,А,А+DА)=(-А-DА,-А,-А+DА).

А Å А ^- =(А-DА,А,А+DА) Å (-А-DА,-А,-А+DА)=(-2DА,0,2DА).

Умножение нечетких чисел в R⁺ и R. Умножение нечетких чисел в R выполняется сложнее, чем в R ⁺. Рассмотрим вначале эту операцию в R.

А Ä В = (А-DА,А,А+DА) Ä (В-DВ,В,В+DВ) =

= [(А-DА)*(В-DВ),А*В,(А+DА)*(В+DВ) =

= [(А*В-В*DА-А*DВ+DА*DВ),А*В,(А*В+В*DА+А*DВ+DА*DВ)]

Нетрудно заметить, что следует различать отклонение слева (D_l) от отклонения справа (D_r).

D_l(А * В)=В*DА+А*DВ-DА*DВ

D_r(А * В)=В*DА+А*DВ+DА*DВ

Для большего удобства запишем

А =(А-D_lА,А,А+D_rА)

В =(В-D_lВ,В,В+D_rВ)

А Ä В = (А*В-В*D_lА-А*D_lВ+D_lА*D_lВ,А*В,А*В+В*D_rА+А*D_rВ+D_rА*D_rВ);

D_l(А * В)=В*D_lА+А*D_lВ-D_lА*D_lВ,

D_r(А * В)=В*D_rА+А*D_rВ+D_rА*D_rВ,

Пример:

А =(3,8,9), D_l8=5, D_r8=1

В =(4,5,7), D_l5=1, D_r5=2

А Ä В =(5*8-88*1-5*5+5*1,5*8,5*8+8*2+5*1+1*2)=(12,40,63).

Формула вычисления операции умножения двух нечетких чисел в R является несколько более сложной, чем в R⁺.

Пример:

А = (-2,3,5), D_l3=5, D_r3=2

В = (-3,-1,4), D_l(-1)=2, D_r(-1)=5

В начале требуется вычислить А Ä В, используя их собственные числа. Нижнее значение произведения будет иметь вид:

MIN [(-2)*(-3), 5*(-3), (-2)*(4), (5)*(4)] =

= MIN (6, -15, -8, 20) = -15.

Таким же образом вычисляется верхнее значение:

MAX (6, -15, -8, 20)=20

Имеем

А Ä В =(-15, -3, 20), D_l(-3)=12, D_r(-3)=23.

Теперь в R получим общую формулу. Положим

D={(А -D _lА)*(В -D_l В),(А -D_l А)*(В +D_r В),(А +D_r А)*(В -D_l В),

(А +D _rА)*(В+D_rВ)}.

MIN(kÎD) - даст минимальное значение, k

MAX(kÎD) - даст максимальное значение, k

A * B - даст центральное значение.

Применим эти формулы к нашему примеру:

D={(3-5)*(-1-2),(3-5)*(-1+5),(3+2)*(-1-2),(3+2)*(-1+5)}=

={6,-8,-15,20}.

MIN D=-15, MAX D=20.

A Ä B =(-15,-3,20).

Очевидно, что операция умножения коммутативна и дистрибутивна в R.

Деление нечетких чисел. Вначале о пределим обратное число А в R следующим образом:

Заметим, что обратное число в R не всегда определено. Действительно пусть А =(-3,2,5). Обратное число для (-3) будет (-1/3), для 2 - 1/2, для 5 - 1/5. Принимая все обратные числа от -1/3 до 1/5, мы проходим через число 0,обратное значение которого от -¥ до ¥, поэтому невозможно получить нечеткое число в форме (A-D_lA,A,A+D_rA). И мы ограничились положительными числами.

Теперь рассмотрим операцию деления в R⁺.

A (:) B = (A-D_lA,A,A+D_RA)(:)(B-D_lB,B,B+D_rB) =

Откуда предполагается, что B>0 (и следовательно D_lB<B). Для R⁺₀ можно всегда написать:

за исключением, если A =(A,A,A)=A.

Также интересно рассмотреть дистрибутивность, существующую между операциями Å и Ä.

Дистрибутивность для реальных чисел не имеет места:

А Å (В Ä С )=(А Å В ) Ä (А Å С ).

Что касается дистрибутивности чисел в R, то имеем:

А Ä(В Å С)=(А Ä В)Å(А Ä С).

Переход от нечетких чисел к относительным. Допустим, что D_lА и D_rА достаточно малы по сравнению с А. Тогда D_lА называют "абсолютной ошибкой слева" и D_rА - "абсолютной ошибкой справа" по отношению к А.

Если D_lА и D_rА достаточно малы, то пренебрегают D_lА*D_rА перед D_lА и D_rА, что позволяет упростить различные формулы и, в частности, формулу произведения:

А Ä В =(А*В-В*D_lА-А*D_lВ,А*В,А*В+В*D_rА+А*D_rВ),

D_lА, D_rА<<А, D_lВ, D_r<<В

В теории ошибок вводится понятие "относительной ошибки", т.е. D_lА/А и D_rА/А, называемые соответственно "относительной ошибкой слева" и "относительной ошибкой справа" по отношению А. Это понятие особенно полезно для операций произведения и деления, для которых имеем:

В обоих случаях относительные ошибки всегда суммируются.

В категории ошибок отклонения слева и справа часто принимаются равными и относительные отклонения D_lА/D_rА выражаются через них.

Интервалы доверия

Рассмотрим некоторую величину Х из R, о которой известно, что она имеет "неточное" значение. Существует много ситуаций, для которых с уверенностью можно утверждать, что Х³a₁ и Х³a2,и a₁, a₂ из R, т.е. Х принадлежит сегменту А=[a₁,a₂] из R. Теперь предположим, что существует некоторый вероятностный закон, с помощью которого устанавливается принадлежность элементов Х из [a₁,a₂]. Поэтому говорят, что А=[a₁,a₂] является интервалом доверия. Нужно отметить, что можно рассматривать интервалы, открытые слева или справа или с обеих сторон. Далее мы будем рассматривать закрытые с двух сторон интервалы или сегменты.

Нетрудно убедиться, что интервал или область доверия должны быть выпуклыми. Выпуклость области доверия можно определить следующим образом: Пусть А - область доверия в Rⁿ, n=1,2,3.... Если две точки Х⁽¹⁾,Х⁽²⁾ из А, то любая точка Х' из [Х⁽¹⁾, Х⁽²⁾] принадлежит А.

Рассмотрим классические операции, относящиеся к интервалам доверия. Сложение интервалов доверия. Пусть А=[a₁,a₂] из R, B=[b1,b2] из R и предположим, что X из [a1,a2] и Y из [b1,b2]. Каким является интервал доверия, которому принадлежит X Å Y? Ответ достаточно прост:

a₁£x£a₂, b1£x£b2

и поэтому a₁+b1£x+y£a₂+b2,т.о. x+yÎa₁+b1,a₂+b2].

Сложение записывается так: А Å В=[a₁,a₂ ]Å [b1,b2]=[a₁+b1,a₂+b2].

Пример 1:

А =[-2,7],B=[4,5]

A+B =[2,12].

Вычитание интервалов доверия. Поменяем знаки у второго интервала и воспользуемся результатом операции сложения.

a₁£x£a₂,-b2£-y£-b1

выполняется a₁-b2£x-y£a₂-b1, т.е. x-yÎ[a₁-b2, a₂-b1].

Операция вычитания записывается следующим образом:

А(-)В=[a₁, a₂]-[b1,b2]=[a₁-b2,a₂-b1].

Пример 2:возьмем данные из примера 1

A(-)B =[-7,3]

Умножение интервалов доверия. Oперация умножения A Ä B=[a₁,a₂]*[b1,b2] даст следующие результаты

Таблица 1

A	B	AB*
0£a₁£a2 0£a₁£a2 0£a₁£a2 a₁£0£a2 a₁£0£a2 a₁£0£a2 a₁£a2£0 a₁£a2£0 a₁£a2£0	0£b1£b2 b1£0£b2 b1£b2£0 0£b1£b2 b1£0£b2 b1£b2£0 0£b1£b2 b1£0£b2 b1£b2£0	[a₁b1, a2b2] [a2b1, a2b2] [a2b1, a₁b2] [a₁b2, a2b2] MIN(a₁b2,a2b1),MAX(a₁b1, a2b2) [a2b1, a₁b1] [a₁b2, a2b1] [a₁b2, a₁b1] [a2b2, a₁b1]

Эти результаты получаются из общей формулы:

A Ä B =[ MIN(a₁*b2,a2*b1,a₁*b1,a2*b2),

MAX(a₁*b2,a2*b1,a₁*b1,a2*b2)]

Пример 3.

A Ä B =[-2,7]Ä[4,5]=[-10,35].

Прежде чем осуществить деление, рассмотрим результат обратного действия.

Имеется шесть случаев:

1) 0<a₁£a2: [a₁,a₂]^(-1)=[1/a2,1/a1]

2) 0=a₁<a2: [a₁,a₂]^(-1)=[1/a2,¥]

3) 0=a₁=a2: единственная точка ¥

4) a₁£a2<0: [a₁,a₂]^(-1)=[1/a2,1/a1]

5) a₁<a2=0: [a₁,a₂]^(-1) =(-¥,1/a₁]

6) a₁£0£a2: [a₁,a₂]^(-1) = (-¥,1/a₁]È[1/a2,¥)

Отсюда следует что [a₁,a2]Ä[a₁,a2]^(-1)¹1.

Пример 4.

A^(-1)=[-2,7]^(-1)=[MIN(-1/2,1/7),MAX(-1/2,1/7)]=[-1/2,1/7].

Деление. Если В^(-1) есть интервал доверия, то операция деление записывается так:

A(:)B=A Ä B^(-1).

Умножение на число К.

При K*А=[MIN(K*a₁,K*a2),MAX(K*a₁,K*a2)].

При К=-3 и А=[-2,7] К*А=[-21,6].

Минимум. Используем символ "Ç" в качестве минимума

A(Ç)B=[a1,a2](Ç)[b1,b2]=

=[MIN(a₁,b1),MIN(a2,b2)]=[a₁Çb1,a2Çb2].

Максимум. Используем символ "È" в качестве максимума:

A(È)B=[a₁,a2](È)[b1,b2]=

=[MAX(a₁,b1),MAX(a2,b2)]=[a₁Èb1,a2Èb2]

Легко проверить, что операции АÇB И AÈB коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Сравнение интервалов доверия. И нтервалы доверия А из R не образуют как R общий, а частичный порядок. Для перехода от частичного порядка к общему необходимо установить произвольно критерий и если одного недостаточно, то перейти к другому. Возьмём в качестве первого критерия сумму абсцисс экстремумов или абсцисс середины интервала.

l([a₁,a₂]) =

Следовательно А>B, если

если a₁ + a₂ = b₁ + b₂, то нужно взять другой критерий, например A>B, если a₂ > b₂.

Нечеткие подмножества

Пусть Е есть множество, А - подмножество Е, т.е. АÌЕ. Принадлежность любого элемента х подмножеству А можно выразить с помощью характеристической функции или функции принадлежности m(х), значения которой указывают, является ли (да или нет) х элементом А:

m_A(х)=1 если хÎА

m_A(х)=0 если хÏА.

Пример:

Пусть Е={х₁,х₂,х₃,х₄,х₅} и пусть А={х₁,х₃,х₅ }. Степень принадлежности каждого элемента Е множеству А выражается характеристической функцией: m_A(х₁)=1; m_A(х₂)=0; m_A(х₃)=1; m_A(х₄)=0; m_A(х₅)=1.

Это позволяет представить А посредством всех элементов множества Е и соответствующих им значений функцией принадлежности:

А={(х₁,1),(х₂,0),(х₃,1),(х₄,0),(х₅,1)}.

Предположим теперь, что характеристическая функция для элементов множества А вместо того, чтобы принимать только значения 0 или 1 могут принимать любое значение аÎ[0,1], т.е. m_A(х)=аÎ[0,1].

В соответствии с этим элемент х₂ Е может не принадлежать А(m_A(x)=0), может быть элементом А в небольшой степени (m_A(x) близко к 0), может более или менее принадлежать А (m_A(х)»0,5), может в значительной степени быть элементом А (m_A близко к 1) или, наконец, может быть элементом А (m_A(х)=1).

Математический объект, определяемый выражением А={(х₁¦0,2),(х₂¦0,4),(х₃¦1),(х₄¦0),(х₅¦0,8)}, где х_i - элемент универсального множества Е, а число после вертикальной черты дает значение характеристической функции для этого элемента, будем называть нечетким подмножеством множества Е. Нечеткое подмножество будем обозначать полужирной буквой с символом ‘_’ под ней:

Принадлежность элементов нечеткому подмножеству можно обозначать так:

Ì E или A Ì E

Приведем примеры нечетких подмножеств.

На рис. 12.1 представлена граница нечеткого подмножества, внутри которой указаны значения характеристической функции для элементов этого подмножества.

Рис. 12.1. Нечеткое подмножество

На рис. 12.2 представлено нечеткое подмножество с помощью его функции принадлежности.

Рис. 12.2. Представление нечеткого подмножества с помощью функции принадлежнасти

Дадим строгое определение понятия нечеткого подмножества, введенного Л. Заде. Пусть Е есть множество, счетное или нет, и х - элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар

{(x| }, " xÎE

где - степень принадлежности х в . Таким образом, если принимает свои значения во множестве М значений функции принадлежности, то можно сказать, что х принимает значение в М посредством .

Следовательно,

x ~® M

Множество М называют множеством принадлежностей.

Рассмотрим несколько примеров:

1) нечеткое подмножество чисел х, приблизительно равных данному действительному числу n, где nÎR (R - множество действительных чисел);

2) нечеткое множество целых чисел близких к 0;

3) пусть а - действительное число и х - небольшое положительное приращение а; тогда а+х образуют нечеткое подмножество во множестве действительных чисел.

Пример.

Пусть N - множество целых чисел

N = {-8,-5,-3,0,1,2,4,6,9}

Рассмотрим нечеткое подмножество чисел по абсолютной величине

близких к 0.

А = {(-8¦0), (-5¦0,5), (-3¦0,6), (0¦1), (1¦0,9), (2¦0,8), (4¦0,6), (6¦0,3), (9¦0)}

Здесь значения , где х =-8,-5,-3..., задаются, конечно, субъективно.

Эту формулу можно записать в виде:

-8Î , -5 Î , -3 Î ,...

0 0.5 0.6

Операции над нечеткими множествами. Рассмотрим различные операции теории обычных множеств применительно к нечетким подмножествам, а также введем новые операции для последних. Пусть Е - множество и М=[0,1] - множество принадлежностей, и - два нечетких подмножества из Е.

Равенство. Два нечетких подмножества и равны (обозначается = ) тогда и только тогда, когда (A = B) Û (" x Î E: = ).

Если найдется по крайней мере один такой элемент х из Е, что равенство )¹ не удовлетворяется, то будем говорить, что и не равны и обозначать ¹

Пересечение. Пересечение двух нечетких подмножеств, обозначаемое и определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в и . (AÇB)=(" x Î E: )= MIN(), ).

Пример.

Е={х₁,х₂,х₃,х₄,х₅}, M=[0,1].

={(х₁¦0,1),(х₂¦0,5),(х₃¦1),(х₄¦0),(х₅¦0,8)}.

={(х₁¦0,6),(х₂¦1),(х₃¦0,4),(х₄¦0,7),(х₅¦0,8)}.

={(х₁¦0,1),(х₂¦0,5),(х₃¦0,4),(х₄¦0),(х₅¦0,8)}.

На рис. 12.3 представлено графически пересечение двух нечетких подмножеств.

Рис. 12.3. Пересечение двух нечетких подмножеств

Объединение. Объединение двух нечетких подмножеств и , , определим как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как А, так и В:

()=("xÎE: )=MAX(), )

Вернувшись к примеру, получим

={(х₁¦0.6),(х₂¦1),(х₃¦1),(х₄¦0.7),(х₅¦0.8)}.

На рис. 12.4 представлено графически объединение двух нечетких подмножеств.

Рис. 12.4. Объединение двух нечетких подмножеств

Дополнение. Будем говорить, что и два нечетких подмножества Е дополняют друг друга, если

"xÎE: =1- ).

Это обозначается так:

B=ùA или A=ùB

Пример:

Е = {х₁,x₂,x₃,x₄,x₅}, M=[0,1].

A = {(х₁¦0.15),(х₂¦0.45),(х₃¦0),(х₄¦0.75),(х₅¦1)}.

B = {(х₁¦0.88),(х₂¦0.55),(х₃¦1),(х₄¦0.25),(х₅¦0)}.

Тогда очевидно ùA=B

На рис. 12.5 графически представлено дополнение нечеткого подмножества А.

Рис. 12.5. Дополнение нечеткого подмножества

Включение. Будем говорить, что содержится в , если

"xÎE: )£

и обозначать Ì .

Строгое включение соответствует случаю, когда, по крайней мере, одно неравенство строгое и обозначается

Пример:

Пусть Е = {х₁,х₂,х₃}, M=[0,1].

= {(х₁¦0,8),(х₂¦0,6),(х₃¦0,4)}.

= {(х₁¦0,5),(х₂¦0,4),(х₃¦0,1)}.

Имеем Ì , так как 0.5<0.8; 0.4<0.6; 0.1<0.4.

Дизъюнктивная сумма. Дизъюнктивная сумма двух нечетких подмножеств определяется в терминах объединений и пересечений следующим образом:

Å = ( Çù )È(ù Ç )

Пример.

= {(х₁¦0.1),(х₂¦0.5),(х₃¦1),(х₄¦0),(х₅¦0.8)}.

= {(х₁¦0.6),(х₂¦1),(х₃¦0.4),(х₄¦0.7),(х₅¦0.8)}.

ù = {(х₁¦0.9),(х₂¦0.5),(х₃¦0),(х₄¦1),(х₅¦0.2)}.

ù = {(х₁¦0.4),(х₂¦0),(х₃¦0.6),(х₄¦0.3),(х₅¦0.2)}.

Çù = {(х₁¦0.1),(х₂¦0),(х₃¦0.6),(х₄¦0),(х₅¦0.2)}.

ù Ç = {(х₁¦0.6),(х₂¦0.5),(х₃¦0),(х₄¦0.7),(х₅¦0.2)}.

Å = {(х₁¦0.6),(х₂¦0.5).

Разность определяется соотношением

- = Çù

Используя данные примера, получим

AÇùB = {(х₁¦0,1),(х₂¦0),(х₃¦0.6),(х₄¦0),(х₅¦0.2)}.

В общем случае - ¹ -

Перемещение. Операция перемещения изменяет значения на величину l. При l>0

производится перемещение функции вправо, а при l<0 - влево.

Следовательно

"xÎE, ¹ (x-l), lÎR

На рис. 12.6 графически представлено перемещение.

Рис. 12.6. Операция перемещения

Нормализация. Операция осуществляется в соответствии со следующей формулой:

"xÎE, = --------------

MAX

На рис. 12.7 графически представлен результат операции нормализации.

Рис. 12.7. Операция нормализации

Уплотнение. Операция осуществляется в соответствии со следующей формулой:

"xÎE, ()^k, k>1.

На рис.5.10 графически представлен результат операции уплотнения.

Рис. 5.10. Операция уплотнения

Растяжение. Операция осуществляется в соответствии со следующей формулой:

xÎE, = ()^k, 0<k<1.

На рис. 12.8 графически представлен результат операции растяжения.

Рис. 12.6. Операция растяжения

Нечеткие отношения

Пусть Р прямое произведение n подмножеств A₁,...,A_n, P=A₁x...xA_n и М его множество принадлежностей. Нечетное n -арное отношение определяется как нечёткое подмножество Р₀ принимающее свои значения в М.

Пример.

Пусть Х={х₁,х₂,х₅} и Y={y₁,y₂,y₃,y₄}, М=[0,1]. Следующая операция представляет собой 2-арное нечёткое отношение

R	y₁	y₂	y₃
x₁	0.2	0.5
x₂		0.4	0.9

Далее будем использовать символы È - для обозначения максимума относительно элемента или переменной х, Ç - для обозначения минимума относительно элемента или переменной х. Так

m₁(x)=È m(x,y)=MAXm(x,y)

y y

m₂(x)=È m(x,y)=MINm(x,y)

y y

Пересечение двух отношений R и L обозначается R_ЗL и определяется выражением

m_R_Ç_L(x,y)= m_R(x)Çm_L(x)=MIN(m_R(x),m_L(x))

Если R1,...,Rn - отношение, то

Результат пересечения обозначим R=ÇR_i.

R₁	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 1
x₂	0 0.4 0.9

R₂	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.6 0.9
x₂	0.1 0.4 0.8

R₃	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 0.9
x₂	0 0.4 0.8

Объединение двух отношений R и L обозначается RÈL или R+L и определяется выражением

m_R_È_L(x,y)=m_R(x,y)Èm_L(x,y)=MAX(m_R(x,y),m_L(x,y))

Если R₁,...,R_n - отношение, то

Результат пересечения обозначим RÈR_i.

Пример.

Y₁	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 1
x₂	0 0.4 0.9

Y₂	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.6 0.9
x₂	0.1 0.4 0.8

Y₃	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.6 1
x₂	0.1 0.4 0.9

Алгебраическое произведение R*L двух отношений R и L определяется выражением

m_R*L(x,y)=m_R(x,y)*m_L(x,y)

Знак "*" в правой части этого выражения обозначает обычное умножение

Свойство дистрибутивности для операций È и * имеет следующий вид:

R_З(LUB) = (R_ЗB)U(R_ЗB)

RU(L_ЗB) = (RUL)_З(RUB)

R*(LUB) = (R*L)U(R*B)

R*(L_ЗB) = (R*L)_З(R*B)

Алгебраическая сумма двух отношений R и L обозначается R+L и определяется следующим выражением:

m_R+L(x,y)=m_R(x,y)+m_L(x,y)-m_R(x,y)*m_L(x,y)

Знак "*" обозначает обычное умножение, а знак "+" - обычное сложение.

Дополнение отношения R (обозначается ) есть такое отношение, что

m(x,y)ÎXxY: =1-m_R(x,y)

Пример.

R	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 1
x₂	0.1 0.4 0.9

R	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.6 0.9
x₂	0.1 0.4 0.8

Дизъюнктивная сумма двух отношений R и L обозначается R+L и определяется выражением R Å L=(R_ЗL)U(R_ЗL).

R	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 1
x₂	0 0.4 0.9

L	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.6 0.9
x₂	0.1 0.4 0.8

	y₁ y₂ y₃
x₁	0.8 0.5 0
x₂	1 0.4 0.1

	y₁ y₂ y₃
x₁	0.7 0.4 0.1
x₂	0.9 0.6 0.2

RÈL	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.4 0.1
x₂	0 0.4 0.2

RÇL	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.5 0
x₂	0.1 0.4 0.1

R Å L	y₁ y₂ y₃
x₁	0.3 0.5 0.1
x₂	0.1 0.4 0.2

Обычное отношение R, ближайшее к нечёткому отношению R определяется выражением

ì 0, Если m_R(x,y)<0.5

m_R(x,y)= 1, Если m_R(x,y)<0.5

î 0 или 1, Eсли m_R(x,y)=0.5

Это определение пригодно для любых полных множеств Х и У, образующих ХхУ, где хÎХ, уÎУ.

R	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 1
x₂	0 0.4 0.9

R	y₁ y₂ y₃
x₁	0 0 1
x₂	0 0 1

Композиция двух нечётких отношений. Пусть R₁ и R₂ два нечётких отношения R₁ÌXxY, R₂ÌYxZ.

Композиция max-min двух нечётких отношений R₁ и R₂ обозначаются R₁oR₂ и определяются выражением

m_RoL(x,y)=È(m_R(x,y)Çm_L(x,y))=MAX(MIN(m_R(x,y),m_L(x,y)))

y y y

Пример.

R₁	y₁ y₂ y₃
x₁	0.2 0.5 1
x₂	0 0.4 0.9

R₂	z₁ z₂ z₃
y₁	0.9 0.4 0.2
y₂ y₃	0 0.4 0.9 0.8 0.6 0.3

R₁oR₂	z₁ z₂ z₃
y₁	0.9 0.4 0.2
y₂ y₃	1 0.5 0.1 0.5 0.6 0.3

Пусть (x,z)=(x₁,z₁)

MIN(m_R1(x₁,y₁),m_R2(y₁,z₁))=MIN(0.1,0.9)=0.1

MIN(m_R1(x₁,y₂),m_R2(y₂,z₁))=MIN(0.4,1)=0.4

MIN(m_R1(x₁,y₃),m_R2(y₃,z₁))=MIN(0.7,0.8)=0.7

MAX(MIN((m_R1(x₁,y_i),m_R2(y_i,z₁)))=MAX(0.1,0.4,0.7)=0.7

y_i

Пусть теперь (x,z)=(x₁,z₂)

MIN(m_R1(x₁,y₁),m_R2(y₁,z₂))=MIN(0.1,0.4)=0.1

MIN(m_R1(x₁,y₂),m_R2(y₂,z₂))=MIN(0.4,0.5)=0.4

MIN(m_R1(x₁,y₃),m_R2(y₃,z₂))=MIN(0.7,0.6)=0.6

MAX(MIN((m_R1(x₁,y_i),m_R2(y_i,z₂)))=MAX(0.1,0.4,0.6)=0.6

И т.д. Окончательный результат представлен в таблице выше.

Заключение.

Поскольку математическая логика опирается на точные формализмы и не содержит нечёткостей, то для того чтобы сделать модель более адекватной реальной действительности требуется использовать теорию и методы представления и обработки чёткостей. Булева алгебра всегда будет полезна там, где требуется точность вычисления. Благодаря Заде она получила широкое толкование с точки зрения теории множеств. С совершенно другой позиции, на основе n -местной логики Пост (1921), Лукашевич (1937) и Мойзл (1940) разработали теории, в которых имели место некоторые аспекты нечётких множеств.

Трудно указать пользователю метод обработки нечёткости, имеющейся в задаче. Адекватность того или иного метода можно оценить на конкретных примерах или благодаря эвристическим знаниям. Ещё недостаточно изучены методы, когда существует взаимосвязь или совокупность различных видов нечёткостей. Неясно, можно ли различать унифицированные методы обработки нечётких знаний различного типа. Здесь рассмотрено применение нечётких знаний в дедуктивных выводах. Интерес представляют и нечёткие знания в индуктивных выводах, в процессах обучения.

Теория обработки нечётких знаний по своей природе вполне соответствует потребностям современной экономики. Задачи управления предприятиями и макроэкономического анализа, в области бизнеса, финансов и банковского дела базируются на знаниях опыта экспертов и естественно они являются нечёткими. Многочисленные статьи, монографии, касающиеся применения теории нечёткостей, свидетельствуют об эффективности рассмотренных методов.

Упражнения

12.1. Для универсального множества Е={А,В,С,О,Е,Р,С}

и нечетких множеств

={(), (, 3), (, 7), ( 1), ( |0), ( 0, 2), (,6)},

={( |0, 3), ( |1), (, 5), ( 0. 8), ( |1), ( 0, 5), (, 6)},

={( |1), ( |0, 5), (, 5), ( 0, 2), ( |0), ( 0, 2), (, 9)},

Найдите:

а) ∩ , б) , в)()∩С,, г) , д) .

ГЛАВА 13. НЕЙРОННЫЕ СЕТИ

Впервые нейронные сети появились в 40-е годы. С целью моделирования работы человеческого мозга исследователи создали аппаратные (а позже программные) средства, имитирующие функции биологического нейрона и его соединений. В 1943г. Маккалок и Питс предложили модель нейронной сети, которую они использовали для распознавания изображений. В 1965г. Ф.Розенблат доказал замечательную теорему об обучении персептронной сети. М.Минский в 1969г. показал, что однослойные персептроны имеют большие ограничения при обучении. Поскольку в то время отсутствовали методы обучения многослойных сетей, то исследования в этой области пришли в упадок. Возрождение интереса к нейронным сетям обязано главным образом разработке методов обучения многослойных сетей. Стремительное развитие исследований в этой области позволяет использовать полученные результаты для разработки интеллектуальных систем поддержки принятия решений.