Тема 1. Производные функций. Дифференциалы функций.

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Дисциплина: Математика

Специальность: 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», А-4107

№ п/п	Содержание самостоятельной работы
1.	Производные функций. Дифференциалы функций
2.	Дифференцирование функций
3.	Нахождение дифференциала функции
4.	Интегрирование функции
5.	Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений Бернулли
6.	Решение однородных дифференциальных уравнений
7.	Нахождение частных производных и полного дифференциала функций
8.	Решение уравнений в полных дифференциалах
9.	Решение дифференциальных уравнений высших порядков
10.	Решение дифференциальных линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
11.	Решение задач с помощью кругов Эйлера
12.	Погрешности приближённых значений чисел
13.	Действия над приближёнными значениями чисел
14.	Решение задач на вычисление вероятностей случайных событий
15.	Решение задач на вычисление вероятностей при повторных испытаниях
16.	Выборка и её представление

 

 

Литература

 

Основная

1. Миронова Н.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – Ростов н/Д.: Феникс, 2012. – 212 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2013. – 479 с.

3. Гончаров Г.А. Элементы дискретной математики. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012. – 128 с.

4. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений/Н.В. Богомолов. – М.: Высшая школа, 2013. – 495 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления, Т.1,2 – М.: Наука, 2012. -416 с.

 

Дополнительная

1. Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2013. – 352 с.

2. Спирин П.А. Дискретная математика/ М.С. Спирина. – М.: Академия, 2012. – 368 с.

3. Матвеев П.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие, 7-е изд., доп. СПб.: "Лань", 2012. 432 с.

 

 

Тема 1. Производные функций. Дифференциалы функций.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при , если этот предел существует:

. (1.1)

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Для производной функции употребляются следующие обозначения: , , , .

Нахождение производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Таблица основных производных:

Таблица 1

С-постоянная
				-
				-

Производной второго порядка функции называется производная от её производной, т.е.

. (1.2)

Производную от второй производной называют производной третьего порядка.

В общем случае производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка: .

Пусть и , тогда – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу:

. (1.3)

1.Найдём производную функции , используя формулу (1.3). Данная функция не является элементарной. Полагая , получим . Находим .

 

Производная в точке. Для вычисления производной функции в точке нужно в выражение производной вместо переменной подставить значение . В итоге должно получиться число.

 

Производная высшего порядка. Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

 

 

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

 

Обозначается dy или df(x).

 

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Можно также записать: