Теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора в

Поток магнитной индукции Ф_м через некоторую поверхность S

 

Ф_м = ∫(В d S) = B dS cosα = ∫B_ndS, (3.2.1)

^{S S S}

где круглые скобки означают скалярное произведение векторов; α – угол между нормалью n к площадке и направлением магнитной индукции В; В_n - проекция магнитной индукции на нормаль; d S = n ·dS. В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности S

 

Ф = BScosα. (3.2.1)

 

Единица измерения магнитного потока в СИ – вебер (Вб), 1 Вб = 1 Тл ·1м².

Пример. Виток радиусом 2 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 2 мТл так, что его плоскость составляет 30⁰ с силовыми линиями. Найти магнитный поток через виток.

Решение. Используем формулу (3.2.1^΄), подставив в нее площадь круга. Угол α в данном случае равен 60⁰. А не 30⁰ (обратите внимание на распространенную ошибку), что видно из рис. 7. Посмотрите еще раз пояснение к формуле. Таким образом, магнитный поток

 

Ф = 2 · 10^-3Тл 3,14 · 4 · 10^-4 м = 2,5мкВб.

 

Ответ: Ф = 2,5 мкВб.

 

Так как линии вектора В всегда замкнуты, то число линий, выходящих из объема V, равно количеству линий, входящих в него. Поэтому поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю:

 

Ф_в = (3.2.2)

 

В этом состоит смысл теоремы Гаусса для магнитного поля.

Если контур состоит из N витков, каждый из которых пронизывается магнитным потоком Ф, алгебраическая сумма потоков

 

Ψ = Ф₁ + Ф₂ +... = . (3.2.2΄)

Величина Ψ называется потокосцеплением или полным магнитным потоком, измеряется так же, как и магнитный поток, в веберах.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции утверждает, что циркуляция вектора В вдоль замкнутого контура в отсутствие переменных электрических полей равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром:

 

(3.2.3)

Значение силы тока берут со знаком «плюс», если направление тока и направление обхода контура составляет правовинтовую систему, и со знаком «минус», если левовинтовую. Выбор направления обхода произволен. Если ток охватывает контур N раз, то это обстоятельство учитывают произведением NI.

Пример. На рис.8 изображен произвольный контур, охватывающий несколько проводников с токами. Токи равны: I₁ = 1 A; I₂ = 2 A; I₃ = 1,5 A. Найти циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль этого контура.

Решение. Согласно формуле (3.2.3). циркуляция вектора В имеет вид

 

 

Проведем операции с размерностями и покажем, что циркуляция измеряется в Тл·м:

 

 

Ниже будет показано, что произведение индуктивности и тока дает потокосцепление (L·I = Ψ), отсюда Гн·А = Вб.

Ответ: циркуляция вектора В равна 25,12·10^-7 Тл·м.

 

Из формулы (3.2.3), как следствие, вытекает формула для расчета магнитной индукции поля на оси бесконечно длинного соленоида в его середине:

 

 

(3.2.4)

 

где N – общее число соленоида; l – его длина; n = N / l – число витков на единицу длины, μ – магнитная проницаемость сердечника, (если сердечника нет или он немагнитный, то μ =1).