Исследование формы и расположения гиперболы по ее каноническому виду

Поворот гиперболы

Парабола

Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду

Парабола со смещенной вершиной. Исследование квадратного трехчлена

Цели занятия: изучить свойства гиперболы и параболы; на примере лекции 11 найти аналогии в изучении кривых второго порядка; систематизировать знания по теме «Кривые второго порядка»; расширить школьные знания о гиперболе и параболе.

Роль и место лекции

Школьные представления о гиперболе и параболе ограничены частными случаями параболы () и гиперболы (). Понятия же эти более широкие. В лекции будут рассмотрены такие вопросы как, общее и каноническое уравнения гиперболы и параболы, полученные на основе их классических определений, поворот оси гиперболы, характерные признаки уравнений. Более широко они будут изучаться в теме «Квадратичные формы».

Гипербола.

Определение 1.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояния которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Зададим в декартовой системе координат фокусы F ₁и F ₂(рис. 1). Возьмем произвольную точку M (x,y), которая по определению должна принадлежать гиперболе. Проведем отрезки F ₁ M и F ₂ M (рис. 1). Согласно определению рассмотрим разность этих отрезков

 

, (1)

где – произвольное число.

Обозначим , тогда из => => или . Фокусы имеют координаты и , причем – гипербола. Представим выражение (1) в координатах:

.

Перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены равенства в левой и правой частях:

,

.

Перенесем слагаемые с x и y в правую часть, остальные в левую. Вынесем за скобки x ²и a ²:

. (2)

Отметим, что . Обозначим . Запишем выражение (2) через введенные обозначения

,

. (3)

Выражение (3) есть уравнение гиперболы в каноническом виде.

 

2. Исследование формы и расположения гиперболы по ее каноническому виду

Рассмотрим выражение (3) и заметим следующее.

1. Так как текущие координаты входят в уравнение только в квадратах, то гипербола симметрична относительно осей начала координат. Ось симметрии, на которой находятся фокусы гиперболы, называется фокальной осью.

2. Гипербола L (3) пересекается с осями координат:

a) Пересечение с осью .

, . Из выражения (3) => , то есть точки и . Эти точки – действительные вершины гиперболы. – действительная ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).

б) Пересечение с осью .

, . Из выражения (3) => , то есть точек пересечения с осью нет. Отложим на оси отрезки b от начала координат. Две точки и – мнимые вершины гиперболы. – мнимая ось гиперболы. Отметим эти точки на оси (рис. 2).

3. Из уравнения (3) найдем y:

. (4)

Для I четверти выражение (4) имеет вид . При увеличении x от a до (при x = a y =0) значение y увеличивается от 0 до . Поскольку гипербола симметрична относительно начала координат, то аналогичным образом, сохраняя симметрию, гипербола будет вести себя в остальных четвертях плоскости.

4. Крутизна. Через проведем прямые, параллельные осям координат. Получим основной прямоугольник (рис. 2). Через диагонали прямоугольника проведем прямые l ₁и l ₂, такие, что , . Сравним ординаты l ₁и координаты гиперболы L в первой четверти при одних и тех же значениях x

, => ,

то есть с увеличением x гипербола никогда не пересечет эти прямые, при этом бесконечно приближаясь к ним. Следовательно, l ₁и l ₂ – асимптоты гиперболы.

5. Эксцентриситет гиперболы аналогичен эллипсу

. (5)

Из (5) следует, что . Причем, если , гипербола вытягивается вдоль оси , если , гипербола вытягивается вдоль оси .

2.1. Частные случаи

1. Если F ₁ и F ₂ , то каноническое уравнение гиперболы принимает вид

. (6)

Причем – мнимая ось гиперболы, – действительная ось.

2. Если центр гиперболы лежит не в начале координат, а в точке , то уравнение гиперболы (3) примет вид

. (7)

 

3. Поворот гиперболы

Примем , тогда уравнение гиперболы примет вид

.

Повернем систему координат по часовой стрелке на угол (рис. 3). Тогда асимптоты совпадут с координатными осями новой системы координат. Выразим старые координаты через новые

. (8)

С учетом получим

, . (9)

Подставим (9) в (3). Тогда выражение гиперболы в новой системе (повернутой) координат примет вид

или . Откуда

. (10)

Выражение (10) есть уравнение равносторонней гиперболы, осями симметрии которой являются асимптоты.

Признаки гиперболы:

- коэффициенты при квадратах имеют противоположные знаки;

- гипербола пересекает ось координат, одноименную с переменной в квадрате, при которой коэффициент имеет знак «-»;

- в случае поворота координатных осей в уравнении кривой второго порядка (см. Лекцию 11) появляются слагаемые произведения переменных.

4. Парабола

Определение 2.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Зададим в декартовой системе координат фокус F (p /2,0)(рис. 4), где – параметр параболы. Проведем прямую d таким образом, чтобы она перпендикулярно пересекала ось в точке . Возьмем произвольную точку M (x, y), которая по определению должна принадлежать параболе. Проведем перпендикуляр из этой точки на прямую d. Обозначим точку их пересечения . Согласно определению рассмотрим длины отрезков и .

= =

.

Раскроем скобки и сократим одинаковые члены

. (11)

Формула (11) – каноническое уравнение параболы

5. Исследование формы и расположения параболы по ее каноническому виду

1. Характерный признак параболы: одна текущая координата в квадрате, а другая в первой степени.

2. Поскольку , то парабола симметрична относительно оси . Ось симметрии одноименна с текущей переменной, входящей в уравнение в 1-й степени.

3. Найдем точки пересечения уравнения параболы с координатными осями.

Пересечение с осью .

, . Из выражения (11) , то есть точка – вершина параболы, единственная точка пересечения с координатными осями.

 

 

4. Построим параболу. Для этого из (11) выразим . Для первой четверти это выражение примет вид . При увеличении x от 0 до (при x =0 y =0) значение y увеличивается от 0 до (рис.5).

Замечание!!!

Если F , то каноническое уравнение параболы имеет вид

. (12)

Вид параболы для различных уравнений

6. Парабола со смещенной вершиной

Исследование квадратного трехчлена

Задан квадратный трехчлен

. (13)

Это кривая второго порядка (). Поскольку одна переменная в квадрате, а другая в первой степени, то очевидно, что это парабола (обратное утверждение не верно рис.6). Выделим полные квадраты

. (14)

Обозначим , , . Тогда выражение (14) запишем в виде

. (15)

Это парабола со смещенной вершиной в точку .

ПРИМЕР 1:

Построить кривую, определяемую уравнением .

Приведем это уравнение к виду (15): , – это парабола вида (рис.5) с вершиной в точке (-4,-1) и ветвями, повернутыми влево (т.к. ). Ось симметрии параллельна оси как на рисунке.

Заключение

В лекции изучены понятия «гипербола» и «парабола» в общем виде, построение графиков этих функций. По общему виду уравнения второго порядка можно судить о виде кривой.

Отметим следующее:

- параметры a и b в выражениях (3, 6, 7) определяют основной прямоугольник гиперболы и следовательно ее асимптоты;

- эксцентриситет гиперболы > 1;

- эксцентриситет гиперболы определяет ее вытянутость;

- при поворотах кривых второго порядка в их общих уравнениях появляются слагаемые произведения текущих переменных;

- чем меньше p, тем она более вытянута парабола, а знак p определяет направление ветвей параболы;

- степень переменной определяет ось симметрии параболы.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

Лекция 16

Поверхности второго порядка