Нормальное распределение Гаусса

Н.Р. – симметричный колокол, центр которого расположен в точке мю µ (математическое ожидание – среднее арифметическое для генеральной совокупности), а ширина зависит от сигмы ϭ (среднеквадратичное отклонение от генеральной совокупности) (являются параметрами НР). Обозначается N(µ; ϭ). В зависимости от значений µ и ϭ изменяется и колокол НР. (1)

Существует бесконечное множество НР, определяемых значениями µ и ϭ.

Свойства кривой НР:

1) симметрична относительно точки µ, причем для НР характерно совпадения µ, моды и медианы;

2) асимптотически приближается к оси Х-ов, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значение отклоняется от µ, тем реже они встречаются;

3) имеет 2 точки перегиба, находящиеся на расстоянии ±ϭ от µ;

4) при µ, равном константе, увеличение ϭ кривая становится более пологой. При ϭ, равной константе, с изменением µ кривая не меняет свою форму, а двигается вправо/влево по оси Х;

5) правило трех сигм: в промежутке µ ±ϭ находится 68,3% всех наблюдаемых значений;

µ ±2ϭ 95,4%;

µ ±3 ϭ 99,7%.

Для того чтобы стандартизировать (унифицировать) множество НР, вводятся НР с параметрами µ = 0 и ϭ = 1. Такое Распределение получило название Стандартное Нормальное Распределение. Обозначается Z (0;1). Параметры СНР являются 0 и 1.

Переход от произвольного НР к СНР и обратно происходит по формуле Z-оценки: .

При переходе в стандартный масштаб изменяется масштаб измерения, но остается неизменной. Свойства Z-оценки:

1) СА всегда = 0;

2) дисперсия и СКО всегда = 1;

3) её знак показывает, в какую сторону от СА отклоняется конкретная Z-оценка;

4) если её значение превышает 3 или -3, фиксируется значительное отклонение конкретной Z-оценки от СА. Такое отклонение называют выбросом.

Для СНР рассчитывают статистическую таблицу, с помощью которой можно решать задачи 2-х типов:

1. 1) для заданного числа а определить значение функций распределения F (a) и далее использовать её для определения любой необходимой вероятности (1 – прошлый рисунок);

Вероятность P того, что случайная величина Х попадет слева от точки а = F(a). P(x<a) = F(a);

2) (2) P(x>a) = 1- F(a);

3) (3) P(a<x<b) = F(b)-F(a).

2. 1) для заданной вероятности найти соответствующую точку. Рассматриваем только 1. 1) слева от искомой точки.

 

P(Z<1,58) = 0,94235

P(Z<3,12) = 0,9990357

Квадрат обозначает количество цифры 9.

P(Z>0,71) = 1 - 0,7611 = 0,2389

 

P = 0,98030 a = 2,06

 

Для СНР выполняется свойство симметричности: P(x<-a) = P(x>a):

Вероятность попадания в область слева от точки -а = вероятности попадания в область справа от точки а.

 

N(5;3);

P(x>2).

 

 

Другие распределения

1. Распределение Т-Стьютенда - симметричный колокол с центром в точке 0, вид которого зависит от параметра под названием число степеней свободы: .

Чем больше df, тем более плоский график; чем меньше df, тем более острый график.

Если ЧСС имеет малое значение, то колокол вытягивается, и наоборот.

При объёмах выборки n>50 приближается и впоследствии совпадает с нормальным распределением.

Таблица:

Внутри – точки;

Слева – ЧСС;

Верх – вероятности.

 

2. Распределение x² (хи-квадрат) Пирсона - ассиметричный колокол с длинным правым хвостом и началом в точке 0. Форма колокола задается параметром “ЧСС”.

 

3. F-Распределение Фишера – ассиметричный колокол с длинным правым хвостом и началом в точке 0. Форма задается ЧСС для 2-х независимых выборочных совокупностей