Задания для самостоятельного решения

Комплексные числа

 

Блок №1

 

Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:

если ,

.

Комплексные числа вида отождествляются с действительными числами . Особую роль играет число , которое называется мнимой единицей. Заметим, что .

Каждое комплексное число можно представить в виде . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа . Для них приняты следующие обозначения: . Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению:

Геометрическое изображение чисел

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами , где – длина вектора , а – угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Полярные и декартовы координаты связаны соотношениями

Операциям сложения и вычитания комплексных чисел можно поставить в соответствие операции над векторами:

Геометрический смысл разности двух комплексных чисел – это расстояние между точками и : .

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия:

1. Найти и , если

а) б)

Решение. а) Перемножая почленно и учитывая, что получим:

Ответ.

б) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

Ответ.

2. Найти и записать комплексное число если

Решение. Выполнив операции над комплексными числами и используя условие

равенства двух комплексных чисел, получим:

Решаем систему:

 

Ответ.

3. Вычислить:

а) б)

Решение. а) Применяя формулу куба разности, получим:

Ответ.

б) Последовательно выполнив операции над комплексными числами,

получим:

Ответ.

4. Решить уравнение:

Решение. Находим дискриминант и пару комплексно-сопряженных корней уравнения:

Ответ.

5. Начертить в комплексной плоскости линию, заданную уравнением

Решение. Так как есть расстояние между точками и , то из равенства

следует, что точки линии удалены от точки на расстояние,

равное 3, то есть данная линия – окружность радиуса 3 с центром (2,–1).

 

Ответ.

6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным неравенствам:

а) б) в)

г) д) е)

Решение.

а) Неравенство означает, что расстояние от точки до точек z меньше 2. Этому условию удовлетворяют точки круга с центром в точке радиуса 2, исключая границу.

 

Ответ.

б) Неравенство означает, что расстояние от точки до точек z должно быть не меньше 1. Искомое множество лежит вне круга с центром в точке радиуса 1, включая границу.

Ответ.

в) Искомое множество должно удовлетворять двум неравенствам и Первое неравенство определяет внешность круга, радиуса 1 с центром в точке (1,1), включая границу. Второе неравенство- круг радиуса 3 с центром в той же точке (1,1), исключая границу. Поэтому данное множество-кольцо с центром в точке (1,1), ограниченное окружностями радиусов и

Ответ.

г) Равенство задает на плоскости множество точек с одинаковым аргументом, то есть луч, выходящий из начала координат под углом к действительной оси.

Ответ.

 

д) Неравенство задает на плоскости угол, ограниченный двумя лучами, выходящими из начала координат под углами и к действительной оси.

Ответ.

е) Неравенство задает на плоскости множество точек, действительная часть которых не меньше 1. Это множество является полуплоскостью с границей, перпендикулярной действительной оси и проходящей через точку (1;0).

Ответ.

Задания для самостоятельного решения

1. Найти и записать комплексное число если

Ответ.

2. Решить систему в комплексных числах:

Ответ.

3. Вычислить:

а)

б)

Ответ. .

4. Решить уравнения:

а) б)

Ответ.

5. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.

а)

Ответ. Внутренность круга R = 5, центр О (3,4), границы не входят.

б)

Ответ. Внешность круга R = 2, центр О (5,–3), граница включается.

в)

Ответ. Кольцо между двумя окружностями радиусов и , центр обеих лежит в О (–2,–1). Внешняя окружность не включает границу; внутренняя граница включается.

г)

Ответ. Полуокружность (граница включается).

 

 

Блок №2