Множества, подмножества и способы их задания.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЯЗАНСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«РЯЗАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Цикловая методическая комиссия естественно-математических дисциплин

 

Н.А. Ивина

Математика

Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по заочной форме обучения по специальностям среднего профессионального образования

Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров

Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

 

Рязань 2014

Согласовано на заседании ЦМК естественно-математических дисциплин Протокол № _______   «____» __________ 20___ г.     Председатель цикловой комиссии   ________________ Ю.Б. Щенева

Утверждено Заместитель директора по учебной работе   «____»________ 20___ г.     _________ Н.В. Чекурова

 

 

Учебно-методическое пособие по дисциплине Математика разработано на основе Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) по специальностям среднего профессионального образования 100801(38.02.05) Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров, 080114(38.02.01) Экономика и бухгалтерский учет(по отраслям).

 

Составитель:	Н.А. Ивина, преподаватель высшей квалификационной категории ОГБОУ СПО «Рязанский технологический колледж»
Рецензенты:	Ю.Б. Щенева, магистр математики, преподаватель высшей квалификационной категории ОГБОУ СПО «Рязанский технологический колледж»

 

Технический исполнитель: Ю.В. Попова

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»
КУРС ЛЕКЦИЙ
Раздел 1 Теория множеств
Раздел 2 Линейная алгебра
Раздел 3 Теория пределов
Раздел 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Раздел 5 Интегральное исчисление функций одной переменной
Раздел 6 Теория вероятностей
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
ЛИТЕРАТУРА

 

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособиеучебной дисциплины «Математика» разработано на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальностям 100801(38.02.05) Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров, 080114(38.02.01) Экономика и бухгалтерский учет(по отраслям) в соответствии с утвержденным учебным планом и содержит методические указания и контрольные задания по основным темам дисциплины.

По каждой теме дано краткое изложение основных теоретических сведений и приведены примеры решения типовых задач, что способствует самостоятельному изучению материала и выполнению контрольных заданий.

В результате освоения учебной дисциплины студент должен уметь:

решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

В результате освоения учебной дисциплины студент должен знать:

значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;

основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики; основы интегрального и дифференциального исчисления.

Программа рассчитана на 20 часов.

Учебным планом предусмотрено проведение обзорных и установочных занятий в период лабораторно-экзаменационной сессии. Студенты выполняют домашнюю контрольную работу.

Основным видом итогового контроля является экзамен, проводимый после изучения полного курса дисциплины.

К экзамену допускаются студенты, выполнившие контрольную работу и получившие положительную оценку.

Критерии оценки знаний и умений на экзамене:

Процент результативности (правильных ответов):

100 - 85% - «отлично»

84 - 70% - «хорошо»

69 - 55% - «удовлетворительно»

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»

Наименование разделов	Содержание учебного материала, самостоятельная работа обучающихся	Объем часов
Раздел 1. Теория множеств	Тема 1.1. Основные понятия теории множеств.
Самостоятельная работа
Понятие множества. Конечные и бесконечные множества, пустое множество. Подмножество. Способы задания множеств. Теоретико-множественные диаграммы. Операции над множествами и их свойства.
Раздел 2. Элементы линейной алгебры	Тема 2.1. Основы линейной алгебры
Самостоятельная работа
Понятие матрицы. Действия над матрицами, их свойства.
Определители 2-го и 3-го порядка, вычисление определителей.
Определители n-го порядка, свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Ступенчатый вид матрицы.
Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, матричным методом.
Практические занятия Операции над матрицами. Вычисление определителей. Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений методом Крамера, матричным методом.
Раздел 3. Введение в математический анализ	Тема 3.1. Теория пределов
Самостоятельная работа
Числовые последовательности. Монотонные, ограниченные последовательности. Предел последовательности, свойства предела. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними, символические равенства. Предел суммы, произведения, частного двух последовательностей. Признак сходимости монотонной последовательности.
Предел функции. Основные теоремы о пределах (суммы, произведения, частного).
Первый и второй замечательные пределы.
Практические занятия Раскрытие неопределенностей, , , . Вычисление пределов функций с помощью замечательных.
Тема 3.2. Непрерывность функции
Самостоятельная работа
Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность функции на отрезке
Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной	Тема 4.1. Производная функции.
Производная функции, её геометрический, механический смысл, свойства.
Производная сложной функции. Таблица производных. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя.
Тема 4.2. Исследование функций. Построение графиков функций
Самостоятельная работа
Исследование функций. Точки экстремума. Необходимые и дос­таточные условия максимума и минимума.
Выпуклость и вогнутость. Аси­мптоты кривых.
Общая схема исследования и построения графиков.
Раздел 5. Основы интегрального исчисления	Тема 5.1. Понятие неопределенного интеграла
Самостоятельная работа
Задачи, приводящие к понятию неопределённого интеграла. Первообразная, неопределенный интеграл, его свойства. Таблица интег­ралов. Непосредственное интегрирование.
Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям.
Тема 5.2. Понятие определенного интеграла.
Самостоятельная работа
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Фор­мулировка теоремы о его существовании. Свойства.
Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла с по­мощью интегрирования по частям и замены переменной.
Тема 5.3. Приложение определенного интеграла
Самостоятельная работа
Приложение определенного интеграла в геометрии
Раздел 6. Основы теории вероятностей и математической статистики	Тема 6.1. Случайные события. Относительная и условная вероятность. Полная вероятность
Самостоятельная работа
Случайные события. Относительная частота и вероятность. Основные свойства вероятностей.
Правило сложения вероятностей. Условные вероятности, правило умножения. Формула полной вероятности.
Тема 6.2. Элементы математической статистики.
Самостоятельная работа
Понятие о задачах математической статистики. Функции выборки. Некоторые важнейшие распределения. Методы оценки параметров распределений. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное среднее и выборочные дисперсии. Типовые выборочные распределения.
Раздел 7. Основы теории комплексных чисел	Тема 7.1. Теория комплексных чисел
Самостоятельная работа
Определение комплексных чисел в алгебраической форме, действия над ними. Геометрическое изображение комплексных чисел. Решение алгебраических уравнений. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Показательная форма комплексных чисел, действия над ними. Тождество Эйлера.
	Итого
В том числе обязательная аудиторная нагрузка

 

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

РАЗДЕЛ 1. Теория множеств

Множества, подмножества и способы их задания.

Понятие множества является одним из тех фундаментальных понятий математики, которым трудно дать четкое определение, используя элементарные понятия. Множество — это совокупность, набор, собрание элементов, объединяемых по какому-либо признаку. Родоначальник теории множеств Георг Кантор (1845 - 1918) определял множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью».

Можно говорить о множестве присутствующих в данной аудитории, множестве букв русского алфавита, множество целых чисел, множество планет Солнечной системы и т.п. При этом о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю. Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств используются различные прописные буквы алфавита (обычно латинского) с индексами или без них. Для обозначения элементов множества в общем виде используются различные строчные буквы алфавита с индексами или без них. Если объект а является элементом множества А, то этот факт записывается так: а А, в противном случае пишут а А. Символ является символом принадлежности объекта множеству. Вместо записи а А, в А, с А может быть использована запись а, в, с А.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным, в противном случае оно называется бесконечным.

В дальнейшем мы будем рассматривать числовые множества, элементы которых - действительные (вещественные) числа.

Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой прямой (или числовой оси), то есть прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Между множеством действительных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, то есть каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и, наоборот, каждой точке прямой- определенное действительное число.

Множество , элементы которого удовлетворяют неравенству , называется отрезком ; неравенству - интервалом ; неравенствам или , называются полуинтервалами соответственно и . Наряду этими рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы , , , и . В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток .