Определители и системы линейных уравнений.

При решении системы линейных уравнений с двумя переменными

Применяя к системе метод уравнивания коэффициентов, получим:

.

Предположим, что . Тогда

.

Общий знаменатель значений и называется определителем системы уравнений, в данном случае число называется определителем второго порядка и обозначается или

Пример:

Введение определителей второго порядка не вносит существенных упрощений в решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными, и без этого не представляющее никаких затруднений. Аналогичные методы для случая системы трех линейных уравнений с тремя переменными оказываются ужу практически полезными. Пусть дана система линейных уравнений с тремя переменными:

 

 

тогда определителем третьего порядка будет выражение: (для его записи употребляется такая же символика, как и в случае определителей второго порядка), таким образом

Пример:

30 + 2 - 24- 12 + 20 – 6 = 10

 

Решение систем линейных уравнений методом Крамера:

система имеет единственное решение при условии, что определитель системы не равен нулю.

Решение системы находится по формулам:

; ; . Где

.

Пример: 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Вычислим главный определитель:

следовательно система не имеет решений.

Пример: 2.

Решение:

;

;

 

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса:

Постепенным исключением переменных находим

Оставим первое уравнение неизменным. Исключим х из второго и третьего уравнений, вычтем из второго уравнения первое, а к третьему уравнению прибавим первое умноженное на (-3). Получим:

Оставим второе уравнение неизменным, исключив у из третьего, умножив второе уравнение на (-1) и сложив с третьем уравнением получим.

Из третьего уравнения найдем z

Ответ: 5; 3; 1.

Функция и пределы

Функция –зависимость, между двумя множествами Х и У, при котором одному элементу из множества Х поставлено в соответствие не более одного элемента из множества У.

Переменная у называется функцией переменной х.

Символически функциональная зависимость записывается с помощью равенства:. Множество всех действительных значений х, при которых функция существует называется областью определения функции.

Обозначается:

Пример: найти область определения функции:

Решение. Функция определена при всех значениях переменной х, кроме тех при которых знаменатель обращается в ноль. Решив уравнение , найдем его корни. Следовательно, функция определена на всей числовой прямой, кроме точек .

Множество всех действительных значений у, которые может принимать функция называется множеством значений функции.

Обозначается:

Зависимость между аргументом x и функцией можно представить в виде некоторой линии.

Определение: графиком функции

называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству.

Функция называется чётной, если перемена знака у аргумента не меняет значение функции, т. е.

График четной функции – кривая симметричная относительно оси ординат.

Функция называется нечётной, если перемена знака у аргумента изменяет только знак самой функции, т. е.

График нечетной функции – кривая симметричная относительно начала координат.

 

 

 

Понятие предела переменной величины - одно из важнейших понятий математики.

§ Число называется пределом функции

при , если для любой последовательности аргументов

сходящихся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Предел функции обозначается символом:

Функция называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю

Функция называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.

Теоремы о пределах:

 

 

Следствия:

,

Примеры:

1.Вычислить предел:

 

По правилам нахождения предела многочлена находим

2.Вычислить предел:, по правилам нахождения предела многочлена находим

3.Вычислить предел:

В данном случае теорема о пределе частного частично не применима, т.к. при , знаменатель равен нулю. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: и

Здесь корни уравнения

4. Вычислить пределы:

1.

2.

умножим числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю, т.е. на , получим

 

5. Вычислить предел:

Решение: используя первый замечательный предел

имеем

6. Вычислить предел:

Решение: разделим числитель и знаменатель дроби на ,

 

Здесь функции при бесконечно малы и их предел равен нулю.

 

Производная.

Определение: Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к

приращению аргумента, когда

последнее стремится к нулю:

Обозначается , y’.

Основные правила дифференцирования. (нахождения производной):

- производная алгебраической суммы функций,

- производная произведения двух функций,

- производная частного.

Обозначения: С – постоянная; – аргумент.

Производные степени и корня:, С'=0,

,

 

 

Физические приложения производной:

При прямолинейном движении точки скорость в данный момент t есть производная от пути s по времени t, вычисленная при

Ускорение движения точки находится по формуле:

.

 

Производные логарифмических и показательных функций:

 

 

 

Производные тригонометрических функций:

 

 

 

Производные обратных тригонометрических функций:

 

Примеры: применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих функций:

1.

 

2.

3.

;

4.

5.

 

6.

 

7.

 

8.

Приведем функцию к виду:

 

, тогда

=