Звідси модуль напруженості дорівнює

. (104)

Перевіримо розмірність

 

Виразимо фізичні величини, що входять у формулу (104), в одиницях СІ і проведемо обчислення

Відповідь:

 

Приклад 19 На тонкому стрижні довжиною l рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною =10 нКл/м. Знайти потенціал , що створюється розподіленим зарядом в точці А, розташованій на осі стрижня і віддаленій від його найближчого кінця на відстань l.

Розв’язання. В задачі розглядається поле, що створюється розподіленим зарядом. У цьому випадку роблять так. На стрижні виділяють нескінченно малу ділянку довжиною dx. Тоді на цій ділянці буде зосереджений заряд dQ = , який можна вважати точковим. Потенціал , що створюється цим точковим зарядом в точці А (рис.18), можна визначити за формулою

Рисунок 18 – Напруженість поля, що створюється стрижнем у точці А

 

(105)

За принципом суперпозиції електричних полів потенціал електричного поля, що створюється зарядженим стрижнем в точці А, знайдемо інтегруванням виразу (105)

.

Після інтегрування одержимо

(106)

Підставимо числові значення фізичних величин в СІ у співвідношення (102) і проведемо обчислення

Відповідь: В.

 

Приклад 20. По тонкій нитці, зігнутій по дузі кола, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною = =10 нКл/м.т (рис.19) Визначити напруженість Е і потенціал електричного поля, що створюється таким розподіленим зарядом в точці, яка збігається з центром кривини дуги. Довжина нитки складає довжини кола і дорівнює l =15 см.

 

 

 

 

Рисунок 19 – Напруженість поля, що створюється ниткою у центрі кривини

 

Розв’язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався з центром кривини дуги, а вісь y була б орієнтована симетрично відносно кінців дуги (рис.19). На нитці виділимо елемент довжиною dl. Заряд dQ = , що знаходиться на цій ділянці, можна вважати точковим.

Тоді легко визначити напруженість електричного поля, що створюється зарядом dQ, в точці О. Для цього скористаємося таким співвідношенням:

(107)

де r - радіус-вектор, напрямлений від елемента dl до точки, в якій обчислюється напруженість.

Виразимо вектор d через його проекції і на осі координат

де і - одиничні вектори напрямів (орти). Напруженість знайдемо інтегруванням

Інтегрування будемо проводити вздовж дуги довжиною l. З міркувань симетрії задачі . Тоді

(108)

де . Оскільки r= = R =const, = R d , то

. (109)

Підставимо співвідношення (109) в (108). Взявши до уваги те, що розташування дуги симетричне відносно осі у, межі інтегрування візьмемо від 0 до , а результат подвоїмо:

.

Виразимо радіус R дуги через довжину l нитки (3 l =2 R), тоді отримаємо

(110)

З цієї формули видно, що напруженість поля за напрямом збігається з віссю у.

Тепер знайдемо потенціал електричного поля в точці О. Для цього спочатку знайдемо потенціал d , що створюється точковим зарядом dQ в цій точці:

. (111)

Замінимо у виразі (111) r на R і проведемо інтегрування

(112)