Властивості функції розподілу

Тема: Випадкова величина, закон її розподілу. Функції розподілу випадкових величин

1. Види випадкових величин

Під випадковою величиною, пов’язаною з деяким випробуванням, розуміється всяка величина, яка при проведенні цього випробування приймає те чи інше значення. ВВ позначаємо великими латинськими літерами, а їх можливі значення – малими латинськими літерами з індексами. Наприклад, . Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні.

Дискретною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої можуть бути пронумеровані в якомусь порядку і записані у вигляді послідовності .

Якщо таку нумерацію можливих значень з використанням натурального ряду чисел здійснити не можна, то випадкова величина називається неперервною. Кількість можливих значень такої величини є нескінченна. Наприклад, величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; зріст людини тощо.

2. Поняття закону розподілу дискретних випадкових величин

Співвідношення між можливими значеннями випадкових величин () та їхніми ймовірностями () дістало назву закону розподілу випадкових величин.

Закони розподілу ДВВ можуть бути виражені таблицею (рядом розподілу), графіком (многокутником розподілу), аналітично (у вигляді функції ).

Приклад. У грошовій лотереї на 10 білетів розігрується один виграш у 50 г.о., 10 білетів -

у 1 г.о. Знайти закон розподілу випадкових величин – вартості можливого виграшу для власника одного лотерейного білета. Розв’язання.

Можливі значення випадкової величини: .

X	0	1	50
P	0,89	0,1	0,01

або Закон розподілу:

3. Інтегральна функція розподілу

Для повної характеристики неперервної випадкової величини вводять інтегральну та диференціальну функції розподілу.

Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) називають ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х, тобто

Функція розподілу для ДВВ має вигляд .

Властивості функції розподілу

1.

2. зростаюча функція, тобто , якщо

3. =0 при ; =1 при

4. Диференціальна функція розподілу

Диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей НВВ називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу, тобто

Функція розподілу є первісною для диференціальної функції розподілу .

Ймовірність того, що НВВ Х прийме значення з інтервалу , можна знайти за формулою

або

Якщо диференціальна функція розподілу відома, то інтегральну функцію розподілу можна знайти за формулою . Властивості диференціальної функції розподілу

1. , тому, що вона є похідною зростаючої функції .

2. =0 при та .

3. тому, що подія - достовірна.

Приклад. Випадкова величина Х задана таблицею:

Х = хі	– 4	– 1
Р (Х = хі) = рі	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

Побудувати F (x) та її графік.

Розв’язання.

F (x) можна записати в такій формі:

Графік функції F (x) зображено на рис. 1.

Рис. 1

Приклад. Закон неперервної випадкової величини Х задано у вигляді:

Знайти F (x) і побудувати графіки функцій f (x), F (x). Обчислити

Розв’язання.

Отже, функція розподілу ймовірностей буде така:

Графіки функцій f (x), F (x) зображені відповідно на рис. 1 і 2.

Рис. 1 Рис. 2

 

 

X
P

ряд розподілу (Барковський с.101)

 

- многокутник розподілу (Барковський с.102)