Случайные ошибки измерения и их распределение

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРОИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

 

Случайные ошибки измерения и их распределение

Ошибкой или погрешностью измерения называется разность х-а между результатом измерения х и истинным значением измеряемой величины а.

Всякое измерение сопряжено с ошибками. Повторяя измерение одной и той же величины даже в одинаковых условиях, мы получаем обычно различные результаты. По этим результатам мы должны судить об истинном значении измеряемой величины. Ясно, что как непосредственные результаты измерения, так и любой результат их обработки дают не точное, а лишь приближенное значение величины а. Из всех таких приближений надо выбрать в каком-то смысле наилучшее. Далее, надо оценить точность полученного приближения, то есть установить границу, которую заведомо (с заданной вероятностью) не превзойдет отклонение истинного значения от найденного приближения.

Применимость теории вероятностей к решению указанных задач основана на том, что возможный результат измерения является случайной величиной с определенным распределением вероятностей. Рассмотрим тип этого распределения в случае прямых измерений (когда значения измеряемой величины считываются непосредственно со шкалы прибора).

Будем считать, что результаты измерения не содержат систематических ошибок. Систематическая ошибка вызывается постоянно действующей причиной, и величина этой ошибки либо постоянна во всех измерениях, либо изменяется по определенному известному закону. Поэтому систематические ошибки могут быть устранены путем выверки и настройки измерительных приборов или введением соответствующих поправок к результатам измерения.

После устранения систематических ошибок результаты измерения все еще будут содержать неустранимые, неизбежные ошибки, которые получили название случайных ошибок измерения (Иногда в результате нарушения установленных условий измерения или при неправильной записи показаний прибора появляются еще и грубые ошибки, или промахи, соответствующие результаты измерения отбрасываются и не учитываются). Эти ошибки вызываются многочисленными трудноуловимыми причинами, каждая из которых приводит лишь к незначительному колебанию результатов измерения.

Каждая из указанных причин порождает свою, так называемую элементарную ошибку измерения; очевидно, что реально наблюдаемые случайные ошибки являются суммой элементарных ошибок. Если считать, что количество элементарных ошибок очень велико, а роль каждой из них в образовании реальной случайной ошибки очень мала, то в силу центральной предельной теоремы случайная ошибка измерения должна следовать нормальному закону распределения вероятностей. Действительно, анализ многочисленных опытов и наблюдений показывает, что распределение случайных ошибок измерения хорошо согласуется с нормальным законом, то есть что относительные частоты случайных ошибок определенной величины достаточно близки к вероятностям таких ошибок, рассчитанным по нормальному закону распределения.

В силу указанных причин в теории ошибок принимают в качестве основного постулата, что при прямых измерениях случайная ошибка следует нормальному закону распределения вероятностей. При этом, учитывая обычно наблюдающуюся симметрию положительных и отрицательных случайных ошибок, принимают еще, что центр распределения случайных ошибок равен нулю. Таким образом, плотность распределения вероятностей случайной ошибки t равна

(1)

Параметр называется средней квадратической ошибкой измерения или стандартом. Он характеризует точность измерений (или точность прибора).

Зная закон распределения случайных ошибок, легко найти закон распределения возможных результатов измерения, так как возможный результат измерения x и случайных ошибок t связаны простой зависимостью:

x = а + t (2)

при этом из Мt = 0 следует Мx = а; это – так называемое условие несмещенности, которое практически связано с отсутствием систематических ошибок. Таким образом, возможный результат измерения x при указанных выше условиях следует нормальному закону распределения вероятностей с центром а и дисперсией s ².