Гео­мет­ри­че­ская задача на доказательство

1. C 5 № 51. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC=ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

2. C 5 № 77. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

3. C 5 № 103. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

4. C 5 № 129. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

5. C 5 № 155. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

6. C 5 № 181. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

7. C 5 № 207. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что от­рез­ки ВF и DE па­рал­лель­ны.

8. C 5 № 311241. В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, что ОК и OL равны.

9. C 5 № 311251. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что EK = EN. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

10. C 5 № 311258. В окруж­но­сти с цен­тром про­ве­де­ны две рав­ные хорды и . На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры и . До­ка­жи­те, что и равны.

11. C 5 № 311259. В па­рал­ле­ло­грам­ме точка — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Из­веств­но, что = .

До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм − пря­мо­уголь­ник.

12. C 5 № 311260. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­веств­но, что EC = ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

13. C 5 № 311549. В па­рал­ле­ло­грам­ме точка — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Из­вест­но, что . До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

14. C 5 № 311555. В па­рал­ле­ло­грам­ме точка — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Из­вест­но, что . До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

15. C 5 № 311561. На сто­ро­не тре­уголь­ни­ка от­ме­че­ны точки и так, что . До­ка­жи­те, что если , то .

16. C 5 № 311567. На ме­ди­а­не тре­уголь­ни­ка от­ме­че­на точка . До­ка­жи­те, что если , то .

17. C 5 № 311573. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны вы­со­ты и . До­ка­жи­те, что по­до­бен .

18. C 5 № 311602. До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны.

19. C 5 № 311603. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны бис­сек­три­сы про­ти­во­по­лож­ных углов. До­ка­жи­те, что от­рез­ки бис­сек­трис, за­клю­чен­ные внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма, равны.

20. C 5 № 311604. Два квад­ра­та имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

21. C 5 № 311605. Два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну. До­ка­жи­те, что от­ме­чен­ные на ри­сун­ке от­рез­ки и равны.

22. C 5 № 311606. Два рав­ных пря­мо­уголь­ни­ка имеют общую вер­ши­ну (см. рис.). До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны.

23. C 5 № 311607. Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция . Точка лежит на ос­но­ва­нии и рав­но­уда­ле­на от кон­цов дру­го­го ос­но­ва­ния. До­ка­жи­те, что — се­ре­ди­на ос­но­ва­ния .

24. C 5 № 311608. Се­ре­ди­ны сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся вер­ши­на­ми ромба. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

25. C 5 № 311663. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ве­де­ны вы­со­ты и . До­ка­жи­те, что по­до­бен .

26. C 5 № 311665. До­ка­жи­те, что у рав­ных тре­уголь­ни­ков и бис­сек­три­сы, про­ведённые из вер­ши­ны и , равны.

27. C 5 № 311667. Три сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. До­ка­жи­те, что от­ре­зок с кон­ца­ми в се­ре­ди­нах про­ти­во­по­лож­ных сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равен чет­вер­ти его пе­ри­мет­ра.

28. C 5 № 311669. В тре­уголь­ни­ке угол равен 36°, — бис­сек­три­са. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный.

29. C 5 № 311696. В па­рал­ле­ло­грам­ме точка — се­ре­ди­на сто­ро­ны . Из­вест­но, что . До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

30. C 5 № 311773. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. До­ка­жи­те, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окруж­но­сти.

31. C 5 № 311829. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что угол ABC равен 60°

32. C 5 № 311861. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти O и точка пе­ре­се­че­ния высот H лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что угол ABC равен 60°

33. C 5 № 311925. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­ны вы­со­ты BH и BE к сто­ро­нам AD и CD со­от­вет­ствен­но, при этом BH = BE. До­ка­жи­те, что ABCD — ромб.

34. C 5 № 311969. Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB тре­уголь­ни­ка ABC, у ко­то­ро­го ∠ C = 90°, и про­дол­же­ний его сто­рон AC и BC за точки A и B со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен диа­мет­ру этой окруж­но­сти.

35. C 5 № 314810. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что KA = NA. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

36. C 5 № 314812. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка K — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что KC = KD. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

37. C 5 № 314822. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD.

38. C 5 № 314830. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AOB.

39. C 5 № 314849. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

40. C 5 № 314856. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­сто­рон­ний.

41. C 5 № 314881. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Из­вест­но, что EA = EB. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

42. C 5 № 314886. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка B — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что BK = BN. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

43. C 5 № 314895. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что EC = ED. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

44. C 5 № 314900. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, что EL = EM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

45. C 5 № 314908. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Из­вест­но, что MA = MB. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

46. C 5 № 314911. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка E — се­ре­ди­на сто­ро­ны LM. Из­вест­но, что EK = EN. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

47. C 5 № 314915. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка A — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, что AL = AM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

48. C 5 № 314919. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка M — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. Из­вест­но, что MC = MD. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

49. C 5 № 314922. В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка B — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, что BL = BM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

50. C 5 № 314925. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка K — се­ре­ди­на сто­ро­ны CD. Из­вест­но, что KA = KB. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

51. C 5 № 314939. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BOC.

52. C 5 № 314940. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKB.

53. C 5 № 314948. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка COD.

54. C 5 № 314949. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка CMD.

55. C 5 № 314962. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BMC.

56. C 5 № 314974. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BKC.

57. C 5 № 314977. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AOD.

58. C 5 № 314978. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка CKD.

59. C 5 № 314982. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMB.

60. C 5 № 314987. В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. До­ка­жи­те, что пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMD.

61. C 5 № 315008. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC (АВ = ВС) точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK — рав­но­бед­рен­ный.

62. C 5 № 315010. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

63. C 5 № 315022. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

64. C 5 № 315030. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что ВMKN — ромб.

65. C 5 № 315033. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что от­рез­ки ВF и DЕ равны.

66. C 5 № 315039. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

67. C 5 № 315041. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что от­рез­ки ВF и DЕ па­рал­лель­ны.

68. C 5 № 315047. Дан пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

69. C 5 № 315051. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что АMNK — ромб.

70. C 5 № 315062. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что от­рез­ки AЕ и CD тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

71. C 5 № 315075. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём СF = АM, BE = DK. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

72. C 5 № 315085. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что углы АDB и BEC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

73. C 5 № 315087. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, СF = АM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

74. C 5 № 315096. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки BEF   и   DFE равны.

75. C 5 № 315110. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём BF = DM, BE = DK. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.

76. C 5 № 315119. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. ри­су­нок). Ока­за­лось, что углы АEB и BDC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС — рав­но­бед­рен­ный.

77. C 5 № 315120. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

78. C 5 № 315124. Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми се­ре­ди­ны его сто­рон, то по­лу­чит­ся пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник.