Доказательство и истинность

Доказательство

Понятие о доказательстве

Во-первых, следует различать доказательства в широком и узком смысле. Доказательство в широком смысле – это любая процедура установления истинности какого-либо суждения, как с помощью логических рассуждений, так и посредством восприятия и узнавания объектов, действующих на органы чувств, и ссылки на такое восприятие.

Доказательство в узком смысле – это установление логического следования доказываемого суждения из некоторых исходных суждений, истинность которых уже была установлена или принята. Исходные суждения доказательства называются его посылками, или основаниями, или аргументами, или доводами, а то суждение, обоснование истинности которого является его целью – тезисом доказательства, или его заключением. Именно в этом узком смысле понимается термин «доказательство» в формальной логике.

Во-вторых, существуют большие различия между доказательствами в различных областях человеческого мышления (научного, общественного и т.д.). Эти различия выражаются в разном характере оснований и тезисов доказательств.

С точки зрения участия опыта в доказательстве, из всей области научного познания, естественно, выделяются науки, в которых опытные данные используются непосредственно в виде суждений, оправданных посредством чувственного восприятия, и науки, в которые опытные данные входят в обобщенной, отвлеченной и идеализированной форме.

В число наук первого рода входят естественные науки: экспериментальная физика, химические науки, биология, геология, астрономия и др.; а также науки об обществе: такие как археология, история и пр. Доказательства, опирающиеся на опыт (косвенный и прямой), называются эмпирическими, или опытными. Они, в основном, состоят из индуктивных умозаключений.

К наукам второго рода относятся: математика, современная формальная логика, некоторые области кибернетики и теоретической физики. В этих науках непосредственным предметом рассмотрения являются не чувственно воспринимаемые вещи, а т.н. абстрактные объекты (понятия), как, например, математическая абстракция точки, не имеющая физических размеров, абстракция идеально правильных геометрических фигур и т.п. По этой причине в этих науках не могут использоваться опытные индуктивные доказательства, а применяются дедуктивные.

Доказательство и истинность

Целью доказательства является установление истинности тезиса. Однако истинность суждения, обоснованного посредством доказательства, как правило, не носит безусловного характера, т.е. в большинстве случаев доказанное суждение представляет собой лишь относительную истину. Относительность истинности доказанных суждений вытекает,

во-первых, из того, что основания доказательства – это особенно ясно видно в эмпирических науках – лишь приблизительно верно отражают действительность, т.е. в свою очередь являются относительными истинами;

во-вторых, применимость данной логики к одному кругу объектов еще не означает применимости ее к другому, более широкому кругу. Например, логика, применимая к конечным объектам, может оказаться неприменимой к объектам бесконечным. Так, известный чешский математик Б. Больцано (1781-1848) считал парадоксом тот факт, что множество всех натуральных чисел равномощно своей собственной части – множеству всех четных (или нечетных) чисел. Его ошибка проистекала оттого, что свойства конечных объектов (часть меньше целого) нельзя было механически распространять на бесконечные объекты;

в-третьих, существует целый ряд понятий, которые, не будучи четко определены, могут приводить к противоречиям при их использовании в рамках обычной человеческой логики. Например, понятие всемогущества Божия, неверно понимаемого как неограниченная способность совершать любые действия, приводит к парадоксам, типа известного вопроса о том, может ли Бог сотворить камень, который не сможет поднять? (В действительности, Его всемогущество является лишь одним из проявлений Его любви и премудрости. Поэтому Бог не может совершить зла, сотворить другого бога, перестать быть Богом и т.п.).

Поэтому, чтобы гарантировать истинность доказанного суждения, необходимо четкое определение употребляемых понятий, применимость употребляемой логики к данному кругу объектов, выяснение непротиворечивости данной системы. Но последнее является особенно трудной задачей даже для формальной арифметики.

Как доказал Гёдель, утверждение о непротиворечивости формальной системы в рамках самой системы недоказуемо[1]. Великий немецкий математик Гильберт († 1943) сокрушался по этому поводу: «...Подумайте: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений... приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку»[2].

Современное «развитие теории познания показало, что никакая форма умозаключений не может дать абсолютно достоверного знания»[3].