Парная регрессия и корреляция

Данный раздел методических указаний предполагает приобретение студентами опыта построения на экспериментальных данных моделей, выбора метода оценки параметров модели, получение прогнозных оценок.

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х:

,

где у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак–фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

– полиномы различных степеней ;

– равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

– степенная ;

– показательная ;

– экспоненциальная .

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейные по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических минимальна, т.е.

Для линейных и нелинейных уравнений, проводимых к линейным, решается система относительно а и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейные коэффициенты парной корреляции r_xy для линейной регрессии :

и индекс корреляции р_ху – для нелинейной регрессии :

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений – не более 8 – 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1%:

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F – текст – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н₀ о статической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F – критерия Фишера. F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х;

к – число параметров в уравнении.

F_табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a –вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна.

Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл < F_факт, то Н₀ – гипотеза о случайно природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл > F_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.