Определитель Вронского набора функций. Теорема об определителе Вронского набора функций на отрезке.

Вопросы к теоретическому тесту 2

По дисциплине Дифференциальные уравнения

По материалу параграфа 7- начало параграфа 13 лекций

Вопросы, выделенные жирным шрифтом, нужно знать с доказательством.

 

1. Общее и линейное дифференциальные уравнения (ДУ) -го порядка. Однородное и неоднородное линейные ДУ.

2. Постановка задачи Коши для линейного ДУ -го порядка. Теорема о существовании и единственности ее решения.

3. Линейность дифференциального оператора -го порядка. Принцип суперпозиции.

4. Линейная независимость и линейная зависимость набора функций на отрезке.

Определитель Вронского набора функций. Теорема об определителе Вронского набора функций на отрезке.

6. Теорема об определителе Вронского набора решений линейного однородного ДУ -го порядка. Ее следствие – «альтернатива Вронского».

7. Фундаментальная система решений (ФСР) линейного однородного ДУ -го порядка. Способ построения ФСР.

8. Теорема о ФСР линейного однородного ДУ -го порядка с переменными коэффициентами.

9. Теорема об общем решении линейного неоднородного ДУ -го порядка. Ее геометрическая интерпретация.

10. Метод вариации постоянных для нахождения частных решений линейного неоднородного ДУ -го порядка.

11. Формула Коши для решения линейного неоднородного ДУ -го порядка с нулевыми начальными данными.

12. Линейное ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристический многочлен.

13. Лемма о тождестве, связывающем линейный дифференциальный оператор -го порядка с постоянными коэффициентами с его характеристическим многочленом.

14. Теорема о явном виде ФСР линейного ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

15. Замечание о виде вещественной ФСР линейного ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

16. Теорема о частных решениях линейного ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида.

17. Замечание о вещественных частных решениях линейного ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами с вещественными правыми частями специального вида.

18. Уравнения Эйлера. Их сведение к ДУ с постоянными коэффициентами.

19. Уравнение Бесселя порядка . Обобщенный степенной ряд.

20. Функция Бесселя порядка .

21. Функция Бесселя порядка при нецелом . ФСР уравнения Бесселя при нецелом .

22. Система нелинейных ДУ. Постановка задачи Коши. Векторная запись.

23. Система линейных ДУ. Теорема о свойствах решения задачи Коши для нее.

24. Метод Пикара для систем линейных ДУ и его свойства.

25. Сведение линейного ДУ -го порядка к системе ДУ. Приложение к задаче Коши.

26. Теорема о глобальной разрешимости задачи Коши для системы нелинейных ДУ.

27. Теорема о локальной разрешимости задачи Коши для нелинейной системы ДУ. Теорема Пеано.

28. Линейная зависимость и линейная независимость вектор-функций на отрезке.